DECOLLAGE D'UN AVION DE LIGNE

Mise en situation

Au moment du décollage, un avion de ligne augmente son altitude en adoptant une trajectoire sensiblement circulaire. La vitesse de décollage dépend de plusieurs facteurs : Le type d'avion, sa charge, la densité de l'air environnant, la direction et la force du vent, la longueur de la piste.

Une configuration de décollage a été définie en fonction de différents critères techniques et économiques. On souhaite vérifier que, pour leur confort, les passagers ne sont pas soumis à une accélération exagérée.

Hypothèses et données

• Le centre de gravité G de l'avion suit :
  • D'abord une trajectoire rectiligne horizontale, les roues étant en contact avec le sol.
  • Ensuite une trajectoire circulaire d'accélération constante, commençant au point A et se terminant au point B.
  • Enfin une une trajectoire rectiligne inclinée d'un angle de 20° par rapport à l'horizontale.
• Durée du mouvement circulaire, entre les points A et B : Δt = 8 s.
• Vitesses du point G au début et à la fin de la phase étudiée :
  • V_A = 280 km/h.
  • V_B = 360 km/h.
• Pour le confort des passagers, l'accélération normale ne doit pas dépasser 0,4 g.

Etude demandée

1. Calculer la vitesse moyenne V_moy du point G, en m/s, entre les points A et B.
2. En déduire la longueur s de l'arc AB.
3. Quel est le rayon R de la trajectoire?
4. Calculer les vitesses angulaires ω_A et ω_B du point G, en rad/s, au début et à la fin de la phase étudiée.
5. En déduire l'accélération angulaire Ω correspondante, en rad/s².
6. Déterminer l'accélération tangentielle ∂_t subie par un passager au cours du mouvement étudié, en m/s².
7. Proposer un graphique donnant la vitesse angulaire ω, en rad/s, en fonction du temps t, en s.
8. En déduire l'équation donnant la vitesse angulaire ω, en rad/s, en fonction du temps t, en s.
9. Reproduire sur feuille de copie puis compléter le tableau :

   t (s)	0	2	4	6	8
   ω (rad/s)
   ∂n (m/s2)

10. Proposer un graphique donnant l'accélération normale ∂_n subie par un passager au cours du mouvement étudié, en m/s².
11. Conclure en indiquant si le confort du passager est assuré. Sur quels paramètres peut-on agir pour diminuer l'accélération normale?
12. Calculer l'altitude z_B du point G à la fin de la trajectoire circulaire, par rapport à la piste, en m.