BOUTEILLE SUR UN TAPIS ROULANT

Mise en situation

Un tapis roulant est entraîné à l'aide d'un moteur asynchrone triphasé à rotor à cage d'écureuil. Afin de paramétrer correctement le variateur de vitesse, pour le démarrage du moteur, on souhaite connaître les caractéristiques du mouvement du tapis roulant. L'objectif est qu'une bouteille posée sur le tapis ne bascule pas ou ne glisse pas lors de la mise en marche.

Hypothèses et données

• Le tapis roulant se mettant en marche, la bouteille est fortement accélérée de sorte qu'elle soit à la limite de basculer. Deux forces agissent alors sur la bouteille.
  • Le poids P , de point d'application le centre de gravité G de la bouteille, de support vertical.
  • La force R exercée par le tapis, de point d'application le bord A de la bouteille, de support incliné de l'angle d'adhérence γ par rapport à la verticale.
• La bouteille est assimilée à un cylindre de diamètre 60 mm et de hauteur 220 mm (on ne prend pas en compte le col de la bouteille).
• La masse de la bouteille est m = 1,1 kg.
• Lorsque le démarrage se termine, la vitesse du tapis roulant est de 150 mm/s.
• Le facteur de frottement entre la bouteille et le tapis a pour valeur f = tan(φ) = 0,5.

Les forces P et R , de points d'application G et A, sont représentées sur le schéma ci-dessus.

Etude demandée

1. Déterminer l'accélération du tapis (ou de la bouteille) dans la configuration limite décrite dans les hypothèses.
2. Dans le cas d'une accélération supérieure à celle calculée, la bouteille risque-t-elle de basculer ou de glisser?
3. Afin d'être certain que la bouteille ne puisse pas basculer, on limite l'accélération du tapis à 1,6 m/s². Combien de temps met le tapis pour atteindre sa vitesse maximale?
4. Quelle distance parcourt alors la bouteille lors du démarrage?