MOMENTS QUADRATIQUES

Exercice 1

Mise en situation

Afin de l'alléger, on décide de percer une pièce de forme allongée et de section rectangulaire. On souhaite comparer les caractéristiques de la section droite évidée avec celles de départ.

Hypothèses et données

Les dessins ci-dessous donnent les dimensions des sections droites et leur orientation par rapport à la base ( x, y, z ).

Travail demandé

1. Calculer la superficie de la section de départ S₁ ainsi que celle de la section évidée S₂, en mm².
2. Déterminer les moments quadratiques I_1Gx, I_1Gy et I_1Gz de la première section, en mm⁴. Le point G est le barycentre de la section droite.
3. De même, déterminer les moments quadratiques I_2Gx, I_2Gy et I_2Gz de la deuxième section, en mm⁴.
4. De quel pourcentage la section a-t-elle perdue de sa superficie?
5. De quels pourcentages les moments quadratiques ont-ils diminués?

Exercice 2

Mise en situation

Une structure, que l'on cherche à dimensionner, est composée de deux types de poutres à sections constantes. Il est nécessaire, au préalable, de connaître les moments quadratiques des sections droites de ces poutres.

Hypothèses et données

Les dessins ci-dessous montrent les formes, indiquent les dimensions des sections droites et leur orientation par rapport à la base ( x, y, z ).

Travail demandé

Pour chaque section :

1. Calculer les moments quadratiques I_Gx, I_Gy et I_Gz, en mm⁴. Le point G est le barycentre de la section droite.
2. Comparer les valeurs trouvées à celles obtenues avec un logiciel.

Exercice 3

Mise en situation

Une structure, que l'on cherche à dimensionner, est composée de trois types de poutres à sections constantes. Il est nécessaire, au préalable, de connaître les moments quadratiques des sections droites de ces poutres.

Hypothèses et données

Les dessins ci-dessous montrent les formes, indiquent les dimensions des sections droites. Un repère ( O; x, y, z ) est associé à chaque section.

Travail demandé

Pour chaque section :

1. Calculer les coordonnées du point G, barycentre de la section droite, dans le repère ( O; x, y, z ).
2. Déterminer les moments quadratiques I_Gx, I_Gy et I_Gz, en mm⁴.

Exercice 4

Mise en situation

Une structure métallique est réalisée à l'aide de tubes ronds en acier, tous identiques. Afin d'augmenter la résistance, certains tubes sont brasés l'un sur l'autre longitudinalement. Pour vérifier le dimensionnement de la structure, on a besoin de connaître des moments quadratiques des deux types de sections.

Hypothèses et données

Les dessins ci-dessous donnent les dimensions des sections droites et leur orientation par rapport à la base ( x, y, z ).

Travail demandé

1. Pour la première section (à gauche) :
   • Déterminer la superficie S₁, en mm².
   • Calculer les moments quadratiques I_1Gx, I_1Gy et I_1Gz, en mm⁴. Le point G est le barycentre de la section droite.
2. Mêmes questions pour la deuxième section (à droite).

Exercice 5

Mise en situation

Une pergola en fer forgé est constituée d'un assemblage de poutres soudées ou boulonnées entre elles. Pour des raisons esthétiques, le fabriquant utilise des poutres avec une section en demi-cercle. Certaines poutres étant de longueur importante, il est nécessaire d'effectuer quelques calculs de vérification. Pour ces calculs, les valeurs des moments quadratiques doivent être connues.

Hypothèses et données

• Rayon de la section en demi-cercle : R = 30 mm.
• Position du centre de surface G par rapport au point O : u = GO = 4.R/3.π

Travail demandé

1. A partir :
   • Des formules de calcul des moments quadratiques d'une section circulaire.
   • Du théorème de Huygens.
   • De la position du barycentre G par rapport au point O.
   Retrouver les formules littérales permettant de calculer les moments quadratiques I_Gx, I_Gy et I_Gz de la section en demi-cercle.
2. Calculer les moments quadratiques, pour la poutre dans laquelle est réalisée la pergola.
3. Comparer les valeurs trouvées à celles obtenues avec un logiciel.