RAPPELS ET COMPLEMENTS
DE MATHEMATIQUE

Introduction

Si on indique, par exemple, que la vitesse du vent est de 20 km/h, on ne sait pas si le vent vient du nord, de l'est ou du sud-ouest. C'est pourquoi il est commode de définir la vitesse avec un vecteur, qui permet de connaître en plus la direction et le sens du vent.

La mécanique s'appuie sur les mathématiques. Certaines grandeurs se définissent avec un nombre suivi d'une unité. D'autres grandeurs s'expriment avantageusement avec les vecteurs. Pour d'autres grandeurs encore, il est recommandé d'utiliser les torseurs. Il est donc indispensable de connaître ces outils.

Chiffres significatifs

Une grandeur réelle n’est jamais connue parfaitement, il existe toujours une certaine incertitude. Par exemple, si vous mesurez une longueur avec une règle graduée en millimètres, la mesure sera au mieux connue au mm près.

Ainsi, rien ne sert d’indiquer tous les chiffres donnés par une calculatrice. En mécanique, les résultats sont généralement écrits avec trois chiffres significatifs.

Cela signifie que pour un résultat donné par une calculatrice :

Exemples :

Nombre donné par la calculatriceRésultat retenu
45612,654
45678,897
0,0045813
0,0045895
45600
45700
0,00458
0,00459

On norera qu'en mécanique, on présente autant que possible :

Vecteur

Définition

Le vecteur est un outil mathématique qui définit :

Remarques :

Soient a, b et c les coordonnées du vecteur V .

On écrit :  V ( a ; b ; c )

Ou encore :   V = a . x + b . y + c . z

Norme d'un vecteur

Soit le vecteur V de coordonnées a, b et c connues.

La norme de V se calcule avec la relation :

ǁ V ǁ = a2 + b2 + c2

Direction d'un vecteur

Soit le vecteur V , parallèle au plan (Oxy), de coordonnées a, b et 0 connues.

L'angle α entre les vecteurs V et a.x, l'angle β entre les vecteurs V et b.y, se calculent avec les relations ci-dessous.

tan(α) = |b/a|   ⇒   α = |Arctan(b/a)|
tan(β) = |a/b|   ⇒   β = |Arctan(a/b)|
β = 90°-α

Coordonnées d'un vecteur

Soit le vecteur V , parallèle au plan (Oxy), de direction, de sens et de norme connues. La direction et le sens de V se définissent par l'angle orienté α entre les vecteurs x et V .
On écrit :  α = ( x ; V )

Les coordonnées a, b et 0 de V se calculent avec les relations ci-dessous.

a = ǁV ǁ.cos(α)
b = ǁV ǁ.sin(α)

On écrit :  V ( ǁV ǁ.cos(α) ; ǁV ǁ.sin(α) ; 0 )
Ou encore :   V = ǁV ǁ.cos(α).x + ǁV ǁ.sin(α).y

Selon le cas, l'angle orienté α peut être positif ou négatif, le sens trigonométrique étant positif et le sens horaire négatif.

Produit scalaire

Définition

Soit α l'angle entre deux vecteurs U et V . Le produit scalaire de U et V , noté U . V , est le nombre réel tel que :

U . V = ǁ U ǁ × ǁ V ǁ × cos α

Propriétés

Produit vectoriel

Définition

Soit α l'angle entre deux vecteurs U et V . Le produit vectoriel de U par V , noté UV , est le vecteur W tel que :

Propriétés

Expression analytique

Si    U (u1; u2; u3)    et    V (v1; v2; v3)    alors    UV (u2.v3-u3.v2 ; u3.v1-u1.v3 ; u1.v2-u2.v1)

Il existe plusieurs manières d'effectuer un produit vectoriel. La méthode proposée ci-dessous prend comme exemple U ( 2; 3; 4 ) et V ( 5; 6; 7 ). Le résultat à trouver est UV ( -3; 6; -3 ).

Les étapes à suivre sont les suivantes :

  1. On écrit les coordonnées des vecteurs les unes en dessous des autres.
  2. On recopie les deux premières lignes et on barre la première ligne.
  3. On effectue des produits en croix avec une soustraction.

Champ vectoriel

Définition

Un champ vectoriel ou champ de vecteur est une fonction qui associe un vecteur à chaque point de l'espace.

Par exemple, pour le champ vectoriel M , au point A est associé le vecteur M(A) et au point B est associé le vecteur M(B).

Champ vectoriel équiprojectif

Le champ vectoriel M est équiprojectif si, quels que soient les points A et B, les projections orthogonales des vecteurs M(A) et M(B) sur la droite (AB) sont égales.

On montre que pour tout champ vectoriel équiprojectif M , il existe un vecteur particulier R , nommé résultante, vérifiant la relation caractéristique ci-dessous.

M(B) = M(A) + BA R

Torseur

Définition

Un torseur est un outil mathématique représentant un champ de vecteur équiprojectif. Pour tout point A de l'espace, le vecteur M(A) se nomme moment du torseur au point A.

Un torseur se définit entièrement par l'ensemble de deux vecteurs :

En effet, le moment entre un autre point B se calcule avec la relation :

M(B) = M(A) + BA R

Eléments de réduction du torseur en un point

Notation

Soient, dans le repère ℜ :

Un torseur se présente de diverses manières :

{ T } = A{ R ; M(A) } = A{ R
M(A)
} = A{ X  L
Y  M
Z  N
} = A{ R = X . x + Y . y + Z . z
M(A) = L . x + M . y + N . z

Changement du point de réduction d'un torseur

Soit un torseur { T } dont les éléments de réduction R et M(G) sont connus au point G. On cherche à déterminer les éléments de réduction de ce torseur au point F.

{ T } = G{ R ; M(G) } = F{ R ; M(F) } = F{ R ; M(G) + FGR }

Cas particuliers :

Propriétés