LES TORSEURS

Introduction

Certaines grandeurs physiques se représentent avec deux vecteurs. C'est le cas, par exemple :

Ces vecteurs ont, par ailleurs, des propriétés particulières, de sorte que ces grandeurs physiques se modélisent avantageusement avec des torseurs.

Notion de champ vectoriel

Définition

Un champ vectoriel ou champ de vecteur est une fonction qui associe un vecteur à chaque point de l'espace. Par exemple, pour le champ vectoriel M , au point A est associé le vecteur M(A) et au point B est associé le vecteur M(B).

Champ vectoriel équiprojectif

Le champ vectoriel M est équiprojectif si, quels que soient les points A et B, les projections orthogonales des vecteurs M(A) et M(B) sur la droite (AB) sont égales.

On montre que pour tout champ vectoriel équiprojectif M , il existe un vecteur particulier R , nommé résultante, vérifiant la relation caractéristique ci-dessous.

M(B) = M(A) + BA R

Notion de torseur

Définition

Un torseur est un outil mathématique représentant un champ de vecteur équiprojectif. Pour tout point A de l'espace, le vecteur M(A) se nomme moment du torseur au point A.

Un torseur se définit entièrement par l'ensemble de deux vecteurs :

En effet, le moment entre un autre point B se calcule avec la relation :

M(B) = M(A) + BA R

Eléments de réduction en un point

Notation

Soient, dans le repère ℜ :

Le torseur se présente de plusieurs manières. Sous forme vectorielle :

{ T } = A{ R ; M(A) } = A{ R
M(A)
}

Et sous forme analytique :

{ T } = A{ X  L
Y  M
Z  N
} = A{ R = X . x + Y . y + Z . z
M(A) = L . x + M . y + N . z

Changement du point de réduction

Cas général

Soit un torseur { T } dont les éléments de réduction R et M(G) sont connus au point G. On cherche à déterminer les éléments de réduction de ce torseur au point F.

{ T } = G{ R ; M(G) } = F{ R ; M(F) } = F{ R ; M(G) + FGR }

Cas particuliers

Propriétés