LES TORSEURS
Introduction
Certaines grandeurs physiques se représentent avec deux vecteurs.
C'est le cas, par exemple :
- D'une action mécanique, qui peut être une force, un couple.
- Du mouvement d'un solide, qui peut être une rotation, une translation.
Ces vecteurs ont, par ailleurs, des propriétés particulières,
de sorte que ces grandeurs physiques se modélisent avantageusement avec des torseurs.
Notion de champ vectoriel
Définition
Un champ vectoriel ou champ de vecteur est une fonction qui associe un vecteur à chaque point de l'espace.
Par exemple, pour le champ vectoriel M ,
au point A est associé le vecteur M(A)
et au point B est associé le vecteur M(B).
Champ vectoriel équiprojectif
Le champ vectoriel M est équiprojectif si,
quels que soient les points A et B, les projections orthogonales des vecteurs
M(A) et M(B)
sur la droite (AB) sont égales.
On montre que pour tout champ vectoriel équiprojectif M ,
il existe un vecteur particulier R , nommé résultante,
vérifiant la relation caractéristique ci-dessous.
M(B) =
M(A) + BA ∧ R
Notion de torseur
Définition
Un torseur est un outil mathématique représentant un champ de vecteur équiprojectif.
Il se définit par deux vecteurs :
- La résultante, notée R .
- Le moment en un point A quelconque, noté M(A).
Le moment entre un autre point B se calcule avec la relation :
M(B) =
M(A) +
BA ∧ R
Eléments de réduction en un point
- Soit un point A, appelé centre de réduction du torseur.
- Les vecteurs R et M(A)
sont les éléments de réduction du torseur au point A.
- R est la résultante du torseur.
- M(A) est le moment du torseur au point A.
Notation
Soient, dans le repère ℜ :
- X, Y et Z les coordonnées de la résultante
R.
- L, M et N les coordonnées du moment
M(A) .
Le torseur se présente de plusieurs manières. Sous forme vectorielle :
T =
AR,
M(A) =
AR
M(A)
Et sous forme analytique :
T =
AℜX
Y
ZL
M
N
Changement du point de réduction
Cas général
Soit un torseur T dont les éléments de réduction R et
M(G) sont connus au point G.
On cherche à déterminer les éléments de réduction de ce torseur au point F.
- La résultante ne change pas :
Ce vecteur est unique et indépendant du point de réduction.
- Le moment en F se calcule avec la relation :
M(F) =
M(G) + FG ∧ R.
T =
GR , M(G) =
FR , M(F) =
FR ,
M(G) + FG ∧ R
Cas particuliers
- Si M(G) = 0
alors le calcul du moment en F se simplifie :
M(F) = FG ∧ R
T =
G R , 0 =
F R , FG ∧ R
- Si R = 0
alors aucun calcul n'est à effectuer :
M(F) = M(G)
T =
G 0 , M(G) =
F 0 , M(G)
Propriétés
- Le torseur nul, noté 0 , est le torseur dont les éléments de réduction sont des vecteurs nuls,
et ce quel que soit le point de réduction.
- Deux torseurs sont équivalents (ou égaux) si, en un point donné, ils ont les mêmes éléments de réduction.
- On peut additionner deux torseurs. Pour cela, il faut les écrire au même point de réduction.
Si T1 =
Aℜ
X1
Y1
Z1
L1
M1
N1
et T2 =
Aℜ
X2
Y2
Z2
L2
M2
N2
alors T1 + T2 =
Aℜ
X1+X2
Y1+Y2
Z1+Z2
L1+L2
M1+M2
N1+N2