LES VECTEURS

Introduction

Si on indique, par exemple, que la vitesse du vent est de 20 km/h, on ne sait pas si le vent vient du nord, de l'ouest ou du sud-est. Pour cette raison, il est commode de définir la vitesse avec un vecteur. Il permet de connaître, en plus de la force du vent, sa direction et son sens.

La mécanique s'appuie sur les mathématiques. Si certaines grandeurs se définissent avec un nombre généralement suivi d'une unité, d'autres grandeurs s'expriment avantageusement avec des vecteurs.

Notion de vecteur

Définition

Le vecteur est un outil mathématique qui définit :

• Une direction.
• Un sens.
• Une norme (ou intensité).

Remarques :

• Pour une direction donnée, il y a deux sens possibles.
• En mécanique, on travaille dans un repère orthonormé direct, usuellement noté (O; x, y, z ).
• Les coordonnées d'un vecteur s'écrivent dans la base orthonormée directe, notée ( x, y, z ).

Soit V un vecteur de coordonnées a, b et c. Les notations ci-dessous sont équivalentes :

• V   ( a ; b ; c )
• V   | a
  b
  c

• V = a . x + b . y + c . z

Coordonnées d'un vecteur défini par deux points

Soient A et B deux points de coordonnées connues : A ( x_A ; y_A ; z_A ) et B ( x_B ; y_B ; z_B )

On a : AB ( x_B-x_A ; y_B-y_A ; z_B-z_A )

Norme d'un vecteur

Soit V un vecteur de coordonnées a, b et c connues. La norme de V se calcule avec la relation :

ǁ V ǁ = a² + b² + c²

Direction d'un vecteur dans le plan

Soit V le vecteur parallèle au plan (Oxy), de coordonnées a, b et 0 connues. Les angles α entre les vecteurs V et x et β entre les vecteurs V et y se calculent avec les relations :

tan(α) = |b/a|   ⇒   α = |Arctan(b/a)|
tan(β) = |a/b|   ⇒   β = |Arctan(a/b)|
β = 90°-α

Coordonnées d'un vecteur dans le plan

Soit V le vecteur parallèle au plan (Oxy), de direction, de sens et de norme connues. La direction et le sens de V se définissent par l'angle orienté α entre les vecteurs x et V . On écrit :  α = ( x ; V )

Les coordonnées a, b et 0 de V se calculent avec les relations :

a = ǁV ǁ.cos(α)
b = ǁV ǁ.sin(α)

On écrit :  V ( ǁV ǁ.cos(α) ; ǁV ǁ.sin(α) ; 0 )
Ou encore :   V = ǁV ǁ.cos(α).x + ǁV ǁ.sin(α).y

Selon le cas, l'angle orienté α peut être positif ou négatif, le sens trigonométrique étant positif et le sens horaire négatif.

Produit scalaire

Définition

Soit α l'angle entre deux vecteurs U et V . Le produit scalaire de U et V , noté U . V , est le nombre réel tel que :

U . V = ǁ U ǁ × ǁ V ǁ × cos α

Propriétés

• U . V = 0    si    U ⊥ V    ou    U = 0    ou    V = 0.
• U . V = V . U
• U . V = ǁ U ǁ × ǁ V ǁ    si    α = 0°
• U . V = - ǁ U ǁ × ǁ V ǁ    si    α = 180°

Expression analytique

Si    U (u₁; u₂; u₃)    et    V (v₁; v₂; v₃)    alors    U . V = u₁.v₁+u₂.v₂+u₃.v₃

Produit vectoriel

Définition

Soit α l'angle entre deux vecteurs U et V . Le produit vectoriel de U par V , noté U ∧ V , est le vecteur W tel que :

• W ⊥ U    et    W ⊥ V .
• Les vecteurs U, V et W, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct.
• ǁ W ǁ = ǁ U ǁ × ǁ V ǁ × |sin α|

Propriétés

• U ∧ V = 0    si    U // V    ou    U = 0    ou    V = 0.
• U ∧ V = - V ∧ U    Le produit vectoriel n'est pas commutatif.
• ǁ W ǁ = ǁ U ǁ × ǁ V ǁ    si    U ⊥ V

Expression analytique

Si    U (u₁; u₂; u₃)    et    V (v₁; v₂; v₃)    alors    U ∧ V (u₂.v₃-u₃.v₂ ; u₃.v₁-u₁.v₃ ; u₁.v₂-u₂.v₁)

Il existe plusieurs manières d'effectuer un produit vectoriel. La méthode proposée ci-dessous prend comme exemple U ( 2; 3; 4 ) et V ( 5; 6; 7 ). Le résultat à trouver est U ∧ V ( -3; 6; -3 ).

Les étapes à suivre sont les suivantes :

1. On écrit les coordonnées des vecteurs les unes en dessous des autres.
2. On recopie les deux premières lignes et on barre la première ligne.
3. On effectue des produits en croix avec une soustraction.
   • Les deux premières lignes permettent de calculer la coordonnée en x.
   • Les deux lignes du milieu la coordonnée en y.
   • Et les deux dernières lignes la coordonnée en z.