Si on indique, par exemple, que la vitesse du vent est de 20 km/h, on ne sait pas si le vent vient du nord, de l'ouest ou du sud-est. Pour cette raison, il est commode de définir la vitesse avec un vecteur. Il permet de connaître, en plus de la force du vent, sa direction et son sens.
La mécanique s'appuie sur les mathématiques. Si certaines grandeurs se définissent avec un nombre généralement suivi d'une unité, d'autres grandeurs s'expriment avantageusement avec des vecteurs.
Le vecteur est un outil mathématique qui définit :
Remarques :
Soit V un vecteur de coordonnées a, b et c. Les notations ci-dessous sont équivalentes :
Soient A et B deux points de coordonnées connues : A ( xA ; yA ; zA ) et B ( xB ; yB ; zB )
On a : AB ( xB-xA ; yB-yA ; zB-zA )
Soit V un vecteur de coordonnées a, b et c connues. La norme de V se calcule avec la relation :
ǁ V ǁ = a2 + b2 + c2
Soit V le vecteur parallèle au plan (Oxy), de coordonnées a, b et 0 connues. Les angles α entre les vecteurs V et x et β entre les vecteurs V et y se calculent avec les relations :
tan(α) = |b/a| ⇒ α = |Arctan(b/a)|
tan(β) = |a/b| ⇒ β = |Arctan(a/b)|
β = 90°-α
Soit V le vecteur parallèle au plan (Oxy), de direction, de sens et de norme connues. La direction et le sens de V se définissent par l'angle orienté α entre les vecteurs x et V . On écrit : α = ( x ; V )
Les coordonnées a, b et 0 de V se calculent avec les relations :
a = ǁV ǁ.cos(α)
b = ǁV ǁ.sin(α)
On écrit : V
( ǁV ǁ.cos(α) ; ǁV ǁ.sin(α) ; 0 )
Ou encore : V =
ǁV ǁ.cos(α).x +
ǁV ǁ.sin(α).y
Selon le cas, l'angle orienté α peut être positif ou négatif, le sens trigonométrique étant positif et le sens horaire négatif.
Soit α l'angle entre deux vecteurs U et V . Le produit scalaire de U et V , noté U . V , est le nombre réel tel que :
U . V = ǁ U ǁ × ǁ V ǁ × cos α
Si U (u1; u2; u3) et V (v1; v2; v3) alors U . V = u1.v1+u2.v2+u3.v3
Soit α l'angle entre deux vecteurs U et V . Le produit vectoriel de U par V , noté U ∧ V , est le vecteur W tel que :
Si U (u1; u2; u3) et V (v1; v2; v3) alors U ∧ V (u2.v3-u3.v2 ; u3.v1-u1.v3 ; u1.v2-u2.v1)
Il existe plusieurs manières d'effectuer un produit vectoriel. La méthode proposée ci-dessous prend comme exemple U ( 2; 3; 4 ) et V ( 5; 6; 7 ). Le résultat à trouver est U ∧ V ( -3; 6; -3 ).
Les étapes à suivre sont les suivantes :