CINEMATIQUE
MOUVEMENTS RECTILIGNE ET CIRCULAIRE

Introduction

La cinématique est la partie de la mécanique où l'on étudie les mouvements des solides, indépendamment des causes qui les produisent.

Tout est relatif, disait Einstein. Un mouvement se définit toujours par rapport à un référentiel. Par exemple, un voyageur dans un train est immobile par rapport au train, mais se déplace par rapport à la gare. Le train et la gare sont deux référentiels différents.

Lors d'une étude de cinématique, les grandeurs recherchées sont les positions, les vitesses et les accélérations. Ces grandeurs varient au cours du temps.

Généralités

Définition des mouvements

Mouvement rectiligne

Le mouvement de translation rectiligne, ou plus simplement mouvement rectiligne, est celui réalisé par une liaison glissière.

On distingue :

Mouvement circulaire

Le mouvement de rotation autour d'un axe fixe, ou plus simplement mouvement circulaire, est celui réalisé par une liaison pivot.

On distingue :

Repère fixe, repère mobile

Un référentiel est un solide ou un ensemble de solides immobiles les uns par rapports aux autres, servant de référence pour l'étude des mouvements. Soit un solide dont le mouvement est étudié par rapport à un solide de référence.

Les douze coordonnées du point P et celles des vecteurs u, v et w, dans le repère fixe, définissent la position du solide étudié par rapport au référentiel.

Paramétrage

Un paramètre est une distance ou un angle permettant de définir simplement la position d'un solide par rapport à un référentiel. Pour un mouvement rectiligne ou circulaire, connaître la position d'un point lié au solide est suffisant pour connaître celle du solide. Soit (O; x, y, z) le repère fixe et M un point lié au solide en mouvement.

Mouvement rectiligne

Plaçons l'axe (Ox) sur la trajectoire du point M. Le paramètre définissant la position du solide étudié est l'abscisse x du point M. x varie au cours du temps.

Mouvement circulaire

Plaçons l'axe (Oz) sur l'axe de rotation et le point O au centre de la trajectoire du point M. Le paramètre définissant la position du solide étudié est l'angle orienté θ entre l'axe (Ox) et la droite (OM). θ est l'abscisse angulaire du point M. θ varie au cours du temps.

Trajectoire des points liés à un solide

Définition

La trajectoire d'un point est la courbe passant par les diverses positions occupées par ce point au cours du temps.

Mouvement rectiligne

Pour un mouvement rectiligne, les trajectoires des points liés au solide étudié sont des droites parallèles.

Mouvement circulaire

Pour un mouvement circulaire, les trajectoires des points liés au solide étudié sont des cercles dont les centres sont situés sur l’axe de rotation.

Champ des vecteurs vitesse d’un solide

Mouvement rectiligne

Pour un mouvement rectiligne, tout point lié au solide étudié à la même vitesse, représentée par le même vecteur.

Mouvement circulaire

Pour un mouvement circulaire, les vecteurs vitesses sont tangents aux trajectoires. Les normes de ces vecteurs sont proportionnelles aux rayons des trajectoires.

Points coïncidant à un instant donné

Une partie importante de la cinématique s’intéresse au mouvement du point, mais il faut remarquer qu’il s’agit du point géométrique et non du point matériel. Cela signifie qu'un point lié à un solide peut éventuellement être situé en dehors de ce solide.

Deux points liés à deux solides en mouvement peuvent occuper la même position à un instant donné. On dit que ces points coïncident.

Exemple

Ci-dessous :

Par conséquent :

Le point A lié à la voiture et le point A lié à la roue coïncident à l'instant de l'étude.

Vitesse, déplacement et accélération d'un point

Mouvement rectiligne

Dans le repère fixe (O; x, y, z), considérons un point M en mouvement rectiligne de trajectoire l'axe (Ox). Son mouvement comporte éventuellement plusieurs phases. La phase étudiée commence à l'instant t1 et se termine à l'instant t2.

La position du point M est repérée par son abscisse. A l'instant t1, le point M a pour abscisse x1 et à l'instant t2, il a pour abscisse x2.

La vitesse du point M peut varier au cours du temps. Pour la phase étudiée, la représentation graphique de la vitesse en fonction du temps est un segment de droite. A l'instant t1, la vitesse du point M est V1 et à l'instant t2, sa vitesse est V2.

Le déplacement du point M entre les instants t1 et t2, en m, est le produit de la vitesse moyenne par la durée.

Δx = Vmoy . Δt   ⇒    x2 - x1 = V1 + V2 2 . (t2 - t1)

L'accélération, en m/s2, est égale à la variation de la vitesse divisée par la durée.

= ΔVΔt = V2 - V1 t2 - t1

Remarques :

Mouvement circulaire

Dans le repère fixe (O; x, y, z), considérons un point M en mouvement circulaire de trajectoire le cercle de centre O et d'axe (Oz). Son mouvement comporte éventuellement plusieurs phases. La phase étudiée commence à l'instant t1 et se termine à l'instant t2.

La position du point M est repérée par son abscisse angulaire. A l'instant t1, le point M a pour abscisse angulaire θ1 et à l'instant t2, il a pour abscisse angulaire θ2.

La vitesse angulaire du point M peut varier au cours du temps. Pour la phase étudiée, la représentation graphique de la vitesse angulaire en fonction du temps est un segment de droite. A l'instant t1, la vitesse angulaire du point M est ω1 et à l'instant t2, sa vitesse angulaire est ω2.

Le déplacement angulaire du point M entre les instants t1 et t2, en rad, est le produit de la vitesse angulaire moyenne par la durée.

Δθ = ωmoy . Δt   ⇒    θ2 - θ1 = ω1 + ω2 2 . (t2 - t1)

L'accélération angulaire, en rad/s2, est égale à la variation de la vitesse angulaire divisée par la durée.

Ω = ΔωΔt = ω2 - ω1 t2 - t1

Remarques :

Caractérisation du mouvement d’un point

Introduction

Le mouvement d'un point se caractérise par :

Mouvement quelconque, cas général

Abscisse curviligne

Sur la trajectoire du point M, ayant choisi une origine Mo et un sens positif, l'abscisse curviligne s du point M est égale à la valeur algébrique de l'arc orienté MoM. L'abscisse curviligne s varie au cours du temps. La vitesse du point M est représentée par le vecteur vitesse V toujours tangent à la trajectoire.

La vitesse V du point M, en m/s, se calcule avec la relation :

V = s' = dsdt

L'accélération tangentielle t du point M, en m/s2, se calcule avec la relation :

t = s" = d2sdt2

Représentants vectoriels de la position, la vitesse et l'accélération

Soit (O; x, y, z) le repère fixe, lié au référentiel, et M un point lié au solide étudié.

OM est le représentant vectoriel de la position du point M.

V est le représentant vectoriel de la vitesse du point M.

est le représentant vectoriel de l'accélération du point M.

Soient x, y et z les coordonnées du vecteur OM. Ces coordonnées varient au cours du temps.

OM = x . x + y . y + z . z

V = dOMdt = x' . x + y' . y + z' . z = dxdt . x + dydt . y + dzdt . z

= dVdt = x" . x + y" . y + z" . z = d2xdt2 . x + d2ydt2 . y + d2zdt2 . z

Mouvement rectiligne

L'abscisse x, en m, définit la position du point M.

OM = x . x

La vitesse V, en m/s, est la variation d'abscisse par unité de temps.

V = V . x    avec   V = x ' = dxdt

L'accélération , en m/s2, est la variation de vitesse par unité de temps.

= ∂ . x    avec    = V ' = dVdt = x" = d2xdt2

Remarques

La relation = dVdt   permet de calculer l'accélération instantanée.

dt est la différence entre deux instants infiniment proches.

Pour l'accélération moyenne, on écrit : moy. = ΔVΔt

Δt est la différence entre deux instants éloignés.

Si l'accélération est constante, alors : = moy. = dVdt = ΔVΔt

Mouvement circulaire

L'abscisse angulaire θ, en rad, définit la position du point M.

θ = ( x ; OM ) = angle orienté entre x et OM

La vitesse angulaire ω, en rad/s, est la variation d'abscisse angulaire par unité de temps.

ω = θ' = dθdt

L'accélération angulaire Ω, en rad/s2, est la variation de vitesse angulaire par unité de temps.

Ω = ω' = dωdt = θ" = d2θdt2

Changement de base

Soient le vecteur unitaire n normal à la trajectoire et le vecteur unitaire t tangent à la trajectoire.

n = OMOM

t = zn

Représentants vectoriels de la position, la vitesse et l'accélération

La position du point M, dont la trajectoire est le cercle de centre O et de rayon R = OM, s'écrit avec la relation ci-dessous.

OM = R . n

La vitesse V du point M est tangente à la trajectoire.

V = V . t

Exprimée en m/s, elle se calcule avec la relation :

V = R . ω

L'accélération du point M se décompose en une accélération nornale n et une accélération tangentielle t.

= n + t = - n . n + t . t

Exprimées en m/s2, elles se calculent avec les relations :

n = V 2R = R . ω 2

t = dVdt = R . Ω

Equations horaires et représentation graphique

Introduction

Une manière de résoudre un problème de cinématique consiste à rechercher, en premier lieu, les équations horaires des mouvements des points étudiés. Dès qu'elles sont connues, il devient aisé de répondre à n'importe quelle question concernant les caractéristiques de ces points.

Mouvement rectiligne uniforme

Equation horaire de l'accélération

Cette équation est de la forme :

= 0

Equation horaire de la vitesse

Cette équation est de la forme :

V = V0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver la valeur de la constante V0.

Equation horaire de l'abscisse

Cette équation est de la forme :

x = V . t + x0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver les valeurs des constantes V et x0.

On peut aussi écrire, pour éviter le calcul de x0 :

x = V . (t - ti) + xi

Représentations graphiques

Mouvement rectiligne uniformément varié

Equation horaire de l'accélération

Cette équation est de la forme :

= 0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver la valeur de la constante 0.

Equation horaire de la vitesse

Cette équation est de la forme :

V = . t + V0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver les valeurs des constantes et V0.

On peut aussi écrire, pour éviter le calcul de V0 :

V = . (t - ti) + Vi

Equation horaire de l'abscisse

Cette équation est de la forme :

x = . t 2 2 + V0 . t + x0

Elle s'obtient en recherchant une primitive de la vitesse :

V = x' = . t + V0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver les valeurs des constantes , V0 et x0.

On peut aussi écrire, pour éviter le calcul de x0 :

x = . (t - ti)2 2 + Vi . (t - ti) + xi

Représentations graphiques

Mouvement circulaire uniforme

Equation horaire de l'accélération angulaire

Cette équation est de la forme :

Ω = ω' = 0

Equation horaire de la vitesse angulaire

Cette équation est de la forme :

ω = ω0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver la valeur de la constante ω0.

Equation horaire de l'abscisse angulaire

Cette équation est de la forme :

θ = ω . t + θ0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver les valeurs des constantes ω et θ0.

On peut aussi écrire, pour éviter le calcul de θ0 :

θ = ω . (t - ti) + θi

Représentations graphiques

Mouvement circulaire uniformément varié

Equation horaire de l'accélération angulaire

Cette équation est de la forme :

Ω = ω' = Ω0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver la valeur de la constante Ω0.

Equation horaire de la vitesse angulaire

Cette équation est de la forme :

ω = Ω . t + ω0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver les valeurs des constantes Ω et ω0.

On peut aussi écrire, pour éviter le calcul de ω0 :

ω = Ω . (t - ti) + ωi

Equation horaire de l'abscisse angulaire

Cette équation est de la forme :

θ = Ω . t 2 2 + ω0 . t + θ0

Elle s'obtient en recherchant une primitive de la vitesse angulaire :

ω = θ' = Ω . t + ω0

Déterminer l'équation horaire consiste à trouver les valeurs des constantes Ω, ω0 et θ0.

On peut aussi écrire, pour éviter le calcul de θ0 :

θ = Ω . (t - ti)2 2 + ωi . (t - ti) + θi

Représentations graphiques