CINEMATIQUE
MOUVEMENTS PLANS

Introduction

Dans l'étude des mouvements plans, on s'intéresse aux vitesses et aux trajectoires des points, les vitesses étant tangentes aux trajectoires. Le mouvement d'un solide 1 se définit par rapport à un solide de référence 2. La vitesse d'un point M lié au solide 1 par rapport au solide 2 se note VM 1/2.

Pour étudier les mouvements de plusieurs points liés à un même solide, en mouvement par rapport à un solide de référence, on utilise la méthode du CIR ou celle de l'équiprojectivité.

Pour étudier les mouvements d'un unique point, lié à divers solides, en mouvement par rapport à plusieurs solides de référence, on utilise la relation de composition des vecteurs vitesse.

Différentes sortes de mouvements plans

Un solide est en mouvement plan si chaque point lié à ce solide se déplace dans un plan. Un mouvement plan peut être :

Ci-dessous, un exemple de translation circulaire : Les nacelles du manège tournent en conservant la même orientation.

On montre qu'un mouvement plan quelconque est équivalent à un mouvement de rotation dont le centre de rotation se déplace. Ce centre de rotation se nomme centre instantané de rotation ou CIR. A l'instant de l'étude, le solide étudié se comporte comme s'il tournait autour du CIR. On notera que le CIR est le seul point du solide dont la vitesse est nulle.

Centre instantané de rotation

Mouvement plan quelconque

Soit deux points A et B liés à un même solide 1 en mouvement par rapport à un solide 2. Les supports des vecteurs vitesse VA 1/2 et VB 1/2 sont supposés connus et non parallèles.

On peut calculer la vitesse VB 1/2, mais on peut également l'obtenir par un tracé. En disposant d'un rapporteur, on mesure l'angle α après avoir tracé VA 1/2 en respectant l'échelle choisie. On reporte ensuite l'angle α pour tracer VB 1/2. On détermine enfin VB 1/2 en mesurant la longueur du vecteur correspondant et en tenant compte de l'échelle du tracé.

Si on dispose d'un compas, on peut placer le point B' sur la droite (IA) de telle sorte que IB = IB'. On trace ensuite le vecteur VB' 1/2. Les normes des vecteurs VB' 1/2 et VB 1/2 sont égales.

La méthode du CIR est inutilisable si le CIR est situé en dehors de la feuille sur laquelle sont effectués les tracés.

Mouvements particuliers

Mouvement de translation

Le mouvement de translation est le cas particulier où le CIR est situé à une distance infinie du solide étudié. Les vecteurs vitesse de chaque point du solide sont identiques.

Mouvement de rotation

Pour un mouvement de rotation d'un solide 1 autour d'un axe fixe lié à un solide 2 :

Le mouvement de rotation est un mouvement plan dont le CIR reste fixe.

Equiprojectivité

La résolution d'un problème de cinématique plane se fait souvent graphiquement. La position du CIR est parfois située en dehors de la feuille sur laquelle est dessiné le solide étudié. On utilise alors la méthode de l'équiprojectivité.

On montre que pour deux points A et B liés à un même solide 1 en mouvement par rapport à un solide 2, les projections orthogonales de VA 1/2 et de VB 1/2 sur la droite (AB) sont deux vecteurs identiques.

Dans l'exemple ci-dessous, on a donc : AK = BL

La méthode de l'équiprojectivité est inutilisable si la projection orthogonale du vecteur vitesse donne le vecteur nul. Et si cette projection est de faible longueur, les tracés donneront des résultats peu précis...

Composition des vitesses

Exemples

Voyageur marchant sur un wagon en mouvement

Prenons l'exemple d'un voyageur 1 marchant sur un wagon 2 en mouvement par rapport à une gare 3. La vitesse du voyageur 1 par rapport à la gare 3 est celle du train 2 par rapport à la gare 3 à laquelle s'ajoute la vitesse du voyageur 1 par rapport au train 2.

Si le voyageur est situé au point A, alors :

VA 1/3 = VA 1/2 + VA 2/3

Les vitesses étant horizontales, sous forme vectorielle, on obtient :

VA 1/3 = VA 1/2 + VA 2/3

Bateau traversant un fleuve

On montre que la relation précédente est vrai aussi pour des vecteurs non parallèles. Ci-dessous, un bateau 1 représenté en vue de dessus tente de traverser un fleuve 2, dont le courant par rapport à la berge 3 n'est pas négligeable. La vitesse du bateau 1 par rapport à la berge 3 est égale à la somme vectorielle de la vitesse du bateau 1 par rapport au fleuve 2 et de la vitesse du fleuve 2 rapport à la berge 3.

Pour un point A lié au bateau :

VA 1/3 = VA 1/2 + VA 2/3

Cas général

Dans le cas général, quels que soient trois solides 1, 2 et 3 et un point M :

VM 1/2 = VM 1/3 + VM 3/2

Cette relation se nomme relation de composition des vecteurs vitesse.

Remarque

VM 1/2 = - VM 2/1

Les deux vecteurs vitesse sont directement opposés. Ils ont le même support.

Mouvement relatif au contact entre deux solides

Roulement sans glissement entre deux solides

Exemple

Considérons une roue 1 roulant sans glisser sur une route 2. Sur le schéma ci-dessous, la trajectoire d'un point lié à la roue est représentée.

Au point A, la trajectoire admet une tangente verticale.

Pour qu'une vitesse change de sens tout en conservant la même direction (verticale dans le cas présent), il est nécessaire que cette vitesse soit nulle à un instant donné. Intuitivement, on conclue que la vitesse au point A est nulle.

Cas général

D'une manière générale, si deux solides 1 et 2, en contact ponctuel, A étant le point de contact, roulent sans glisser l'un sur l'autre alors :

Glissement entre deux solides

Soient :

Si le solide 1 glisse sur le solide 2, alors la direction de VA 1/2 est parallèle au plan P.