CINETIQUE

Introduction

La cinétique est la partie de la mécanique où l'on étudie les mouvements des solides, en prenant en compte les masses et les inerties. Elle permet, entre autres, de définir le torseur cinétique à partir duquel on pourra déterminer le torseur dynamique.

Centre d'inertie

Le centre d'inertie ou centre de masse d'un solide est le point central de toutes les masses. Il est confondu avec le centre de gravité si on admet que le champ de pesanteur est localement constant.

Un solide peut fréquemment se décomposer en n éléments dont on connaît les centres d'inertie Gi et les masses mi. Soit O un point quelconque. La position du centre d'inertie G du solide se calcule avec la relation ci-dessous.

OG = m1.OG1+ m2.OG2+...+ mn.OGn m1+m2+...+mn

m1+m2+...+mn représente la masse totale du solide. Pour des raisons pratiques, le point O est généralement l'origine du repère dans lequel s'écrivent les coordonnées des points Gi.

Moment d’inertie par rapport à un axe

Définition

Soit mi la masse de chaque particule i d'un solide, chaque particule étant située à la distance li de l'axe (Oz). Le moment d'inertie du solide par rapport à l'axe (Oz), en kg.m2, se calcule avec la relation ci-dessous.

JOz = mi . li 2

Considérons les cas suivants :

A chaque fois, toute la matière constituant le solide se trouve une distance unique de l'axe (Oz). Les moments d'inertie par rapport à l'axe (Oz) se calculent alors avec la même relation ci-dessous. On note m la masse totale du solide.

JOz = m . R2

Moments d'inertie de quelques volumes élémentaires

Pour les solides suivants, de masse m et le centre de masse G, la résolution de l'intégrale donne les résultats ci-dessous.

Cylindre plein

JGx = JGy = m . R24 + m . L212

JGz = m . R22

Tube d'épaisseur
non négligeable

JGx = JGy = m . ( R2 + r2 )4 + m . L212

JGz = m . ( R2 + r2 )2

Sphère pleine

JGx = JGy = JGz = 2 . m . R25

Parallélépipède
rectangle

JGx = m . ( L2 + B2 )12

JGy = m . ( L2 + A2 )12

JGz = m . ( A2 + B2 )12

Cône plein

JGx = JGy = 3 . m . R220 + 3 . m . H25

JGz = 3 . m . R210

Théorème de Huygens

Soit un solide de masse m et de centre de masse G. Soit d la distance entre l'axe (Oz) et l'axe (Gz).

Le moment d'inertie JGz étant connu, le moment d'inertie JOz se calcule avec la relation :

JOz = JGz + m . d2

Exemple

Considérons la barre fine de masse m et de longueur L ci-dessous :

On sais que   JGz = m . L212

En appliquant le théorème de Huygens :

JOz = JGz + m . (L / 2)2 = m . L212 + m . L24 = m . L23

Opérateur d'inertie

Moments d'inertie par rapport à un plan, un axe ou un point

Considérons un solide (S) et un repère orthonormé direct (O; x, y, z ). Chaque particule Mi du solide (S) a pour masse mi et pour coordonnées xi, yi et zi dans le repère (O; x, y, z ).

Le moment d'inertie, en kg.m2, se calcule par rapport à un plan, un axe ou un point.

Moment d'inertie par rapport au plan (Oxy)

JOxy = mi . zi2

zi2 est le carrée de la distance entre le point Mi et le plan (Oxy).

Moment d'inertie par rapport à l'axe (Ox)

JOx = mi . ( yi2 + zi2 )

yi2 + zi2 est le carrée de la distance entre le point Mi et l'axe (Ox).

Moment d'inertie par rapport au point O

JO = mi . ( xi2 + yi2 + zi2 )

xi2 + yi2 + zi2 est le carrée de la distance entre les points Mi et O.

Propriétés

Produits d'inertie

Le produit d'inertie, en kg.m2, se définit par rapport à deux axes.

Produit d'inertie par rapport aux axes (Ox) et (Oy)

Pxy = mi . xi . yi

Propriétés

Opérateur d'inertie

Définition

L'opérateur d'inertie se nomme également matrice d'inertie ou tenseur d'inertie. Il se calcule en un point donné.

JO = [ JOx
-Pxy
-Pxz
   -Pxy
JOy
-Pyz
   -Pxz
-Pyz
JOz
]

Propriété

Quel que soit le solide (S), il est possible de trouver un repère ( G; x1, y1, z1 ) de sorte que tous les produits d'inertie soient tous nuls. L'opérateur d'inertie s'écrit alors :

JG = [ JGx1
0
0
   0
JGy1
0
   0
0
JGz1
]

Le point G est le centre d'inertie du solide. Les axes (Gx1), (Gy1) et (Gz1) sont les axes principaux d'inertie. Les moments correspondants sont les moments principaux d'inertie.

Moment d'inertie par rapport à un axe quelconque

Soit une droite Δ passant par O, de vecteur unitaire u.

Le moment d'inertie JΔ du solide (S) par rapport à la droite Δ s'obtient avec la relation :

JΔ = u . JO . u

Si a, b et c sont les coordonnées du vecteur u dans le repère (O; x, y, z ), alors :

JΔ = a2.JOx + b2.JOy + c2.JOz - 2.a.b.Pxy - 2.b.c.Pyz - 2.a.c.Pxz

Torseur cinétique

Quantité de mouvement

Soit une particule de masse m se déplaçant à la vitesse V. La quantité de mouvement de cette particule, en kg.m/s, se calcule avec la relation ci-dessous.

Q = m . V

Torseur cinétique

Le torseur cinétique est le torseur des quantités de mouvement d'un solide par rapport à un référentiel donné. Il comporte la résultante cinétique Rc et le moment cinétique Mc.

Résultante cinétique

Rc = m . VG

m : Masse de solide, en kg.
VG : Vitesse du centre d'inertie G du solide, en m/s.

Moment cinétique

Le moment cinétique se calcule simplement dans deux cas particuliers. Lorsque l'opérateur d'inertie est calculé au centre d'inertie G du solide ou lorsqu'il est calculé en un point fixe O.

Si l'opérateur d'inertie est calculé au centre d'inertie G :

McG = JG . Ω

Si l'opérateur d'inertie est calculé en un point fixe O :

McO = JO . Ω

Ω : Vecteur vitesse de rotation, en rad/s.

Energie cinétique

L'énergie cinétique d'un solide en mouvement est égale à la moitié du comoment du torseur cinétique par le torseur cinématique.

Ec = 12 {C}⊗{V}

Dans le cas où les deux torseurs sont écrits au centre d'inertie G :

Ec = 12 . G{ m . VG
JG . Ω
}G{ Ω
VG
} = 12 . m . VG 2 + 12 . JG . Ω 2