DYNAMIQUE

Introduction

La dynamique est la partie de la mécanique où l'on étudie les mouvements des solides en relation avec les actions mécaniques qui leur sont appliquées.

Le principe fondamental de la dynamique s’applique dans le cadre de la mécanique newtonienne. Lorsque la vitesse du solide s’approche de celle de la lumière, ce principe n’est plus valable. On entre alors dans le cadre de la mécanique relativiste.

Enoncé du principe fondamental de la dynamique

Soit un système isolé S en mouvement par rapport à un référentiel galiléen.

On écrit :

∑ { T AME } = { T S→S } = { T dyn. }

Remarques

Application au mouvement de translation

Soit un solide de masse M, de centre de masse G, soumis à une accélération par rapport à un référentiel galiléen, animé d'un mouvement de translation.

Quel que soit le point A :

{ T dyn. } = A{ M. ;  AG ∧ ( M. ) }

Dans la résolution d'un problème de dynamique, on choisit généralement le centre de masse G comme point de calcul. En effet, en choisissant ce point au lieu d'un point A quelconque, le torseur dynamique se simplifie.

{ T dyn. } = G{ M. ;  0 }

Sous forme vectorielle, on obtient deux théorèmes.

Théorème de la résultante dynamique

R AME = R S→S = M .

R AME   est la somme des résultantes des torseurs d'action mécanique.

Théorème du moment dynamique

M G AME = M G S→S = 0

M G AME   est la somme des moments en G des torseurs d'action mécanique.

Cas d'un système soumis à des forces

Si le système isolé est soumis à des forces uniquement, on écrit :

F ext. = M .

MG F ext. = 0

Remarques

Application au mouvement de rotation

Considérons un solide en rotation autour d’un axe fixe par rapport à un référentiel galiléen. Un des axes du repère, par exemple l'axe (Oz), est confondu avec l'axe de rotation.

L'axe de rotation est un axe principal d’inertie

Le solide et l'axe de rotation ne sont pas quelconques. L'axe de rotation est un axe principal d’inertie. Il passe par le centre de masse G du solide, la rotation s'effectue sans balourd, sans vibration.

Soit JOz le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation. Le solide étant soumis à une accélération angulaire Ω = Ω . z , quel que soit le point A :

{ T dyn. } = A{ 0 ;  JOz . Ω } = A{ 0 ;  JOz . Ω . z }

Sous forme vectorielle, on obtient deux théorèmes.

Théorème de la résultante dynamique

R AME = R S→S = 0

Théorème du moment dynamique

M A AME = M A S→S = JOz . Ω

Cas d'un système soumis à des forces

Si le système isolé est soumis à des forces uniquement, on écrit :

F ext. = 0

MA F ext. = JOz . Ω

Remarque

Si le solide étudié tourne à vitesse constante, alors Ω = 0 ce qui donne { T dyn. } = { 0 }. Le problème de dynamique se ramène alors à un problème de statique.

L'axe de rotation est parallèle à un axe principal d’inertie

Soit R la distance entre l'axe de rotation (Oz) et l'axe principal d’inertie (Gz).

Dans ce cas, le torseur dynamique s'écrit :

{ T dyn. } = G{ M. ;  JGz . Ω }

Equation du moment dynamique en projection sur l'axe de rotation

Un problème de dynamique peut se résoudre partiellement, certaines valeurs étant recherchées et d'autres pas. On peut alors utiliser l'équation du moment dynamique en projection sur l'axe de rotation, ici l'axe (Oz).

Cette équation s'écrit, sous forme vectorielle :

M (Oz) AME = JOz . Ω

Les moments qui ont tendance à accélérer le mouvement correspondent à des couples moteurs, notés Cm. Ceux ayant tendance à le ralentir correspondent à des couples résistants, notés Cr.

Ainsi, l'équation devient :

Cm - ∑ Cr = JOz . Ω

Dynamique des systèmes

Principe

Une chaîne cinématique est constituée d'un ensemble de solides en mouvement. L'application du PFD sur ces différents solides étant assez longue, on cherche à définir un système fictif équivalent plus simple.

Pour un mécanisme entraîné par un moteur, le système équivalent comporte :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

Cm - Cr éq. = Jéq. . Ω

Exemple

Prenons l'exemple du réducteur à engrenage schématisé ci-dessous. Supposons le rendement global égal à 1.

Données :

r : Rapport de transmission du réducteur.
Cm : Couple moteur exercé sur l'arbre d'entrée 1.
Cr : Couple résistant exercé sur l'arbre de sortie 2.
J1 : Moment d'inertie de l'ensemble lié à l'arbre d'entrée 1.
J2 : Moment d'inertie de l'ensemble lié à l'arbre de sortie 2.
Ω1 : Accélération angulaire de l'arbre d'entrée 1.
Ω2 : Accélération angulaire de l'arbre de sortie 2.
F : Force transmise au niveau de l'engrènement.
d1, d2 : Distances entre le support de la force F et les axes des roues dentées.

PFD appliqué à l'arbre d'entrée 1 :

Cm - d1 . F = J1 . Ω1

PFD appliqué à l'arbre de sortie 2 :

d2 . F - Cr = J2 . Ω2

Caractéristiques du réducteur à engrenages :

r = d1d2 = Ω2Ω1

De ces relations on déduit :

Cm - r . Cr = ( J1 + r2 . J2 ) . Ω1

Conclusion :

Cr éq. = r . Cr

Jéq. = J1 + r2 . J2

Couple résistant équivalent ramené à l'arbre moteur

Le rendement global est, en fait, assez rarement proche de 1. Si on se place en régime permanent, toutes les accélérations sont nulles. Le couple résistant équivalent ramené à l'arbre moteur est alors égal au couple moteur.

Cr éq. = Cm = Paωm = Puη . ωm

Cr éq. : Couple résistant équivalent ramené à l'arbre moteur.
Cm : Couple moteur en régime permanent.
Pa : Puissance mécanique sur l'arbre du moteur en régime permanent.
ωm : Vitesse angulaire du moteur en régime permanent.
Pu : Puissance utile nécessaire au fonctionnement du système en régime permanent.
η : Rendement global du système.

Moment d'inertie équivalent ramené à l'arbre moteur

Le moment d'inertie équivalent ramené à l'arbre moteur se calcule en recherchant l'énergie cinétique totale du système étudié, c'est à dire en additionnant les énergies cinétiques de tous les éléments constituant le système. Ces énergies cinétiques sont déterminées en fonction de la vitesse angulaire du moteur.

Dans l'exemple du réducteur à engrenage :

r = ω2ω1    ⇒   ω22 = r 2 . ω12

Ec = Ec1 + Ec2   ⇒

12 . Jéq. . ω12 = 12 . J1 . ω12 + 12 . J2 . ω22 = 12 . J1 . ω12 + 12 . J2 . r2 . ω12

On en déduit :

Jéq. = J1 + r2 . J2

Exemple de calcul de l'effet gyroscopique

On peut s'amuser avec l'effet gyroscopique, le subir ou l'utiliser.

Une expérience classique consiste à faire tourner rapidement une roue de vélo autour de son axe maintenu horizontal, une des extrémités de l'axe étant fixée à un fil tendu et vertical. Dès que la roue est lâchée, l'axe reste horizontal, tourne lentement autour du point de fixation. On observe, en outre, que le fil reste vertical. Le poids de la roue crée un couple d'axe horizontal engendrant un mouvement de rotation d'axe vertical.

La roue de vélo, de masse m, est schématisée ci-dessus. On note α la position angulaire de l'axe et ω la vitesse de rotation de la roue autour de l'axe horizontal ( O , u ). Le but est de calculer la vitesse angulaire α' de la roue autour de l'axe vertical (Oz).

Torseurs d'action mécanique

La roue de vélo est soumise à deux forces :

{ Tpoids } = G{ P
0
} = O{ P
MO P
} = O{ - P . z
OG . P . v
}

{ Ttension fil } = O{ T
0
} = O{ T . z
0
}

Torseur cinétique

Si le point de réduction du torseur cinétique est un point fixe, ou bien le centre de masse du système étudié, alors le torseur dynamique s'obtient en dérivant par rapport au temps les éléments de réduction du torseur cinétique. On choisit ici le point O.

{ Tcinétique } = O{ Rc
McO
} = O{ m . VG
JOu . ω . u
+ JOz . α' . z
}

Torseur dynamique

Rd = d Rcd t = m . d VGd t = m . G 0

MdO = d McOd t = JOu . ω' . u + JOu . ω . d u d t + JOz . α" . z = JOu . ω . d u d t

Les accélérations angulaires α" et ω' sont nulles d'une part, d'autre part :

u = cos α . x + sin α . y   ⇒   d u d t = - sin α . x . α' + cos α . y . α' = α' . v

{ Tdynamique } = O{ Rd
MdO
} = O{ 0
JOu . ω . α' . v
}

Principe fondamental de la dynamique

{ Tpoids } + { Ttension fil } = { Tdynamique }  ⇒

- P + T = 0   et   OG . P = JOu . ω . α'  ⇒

α' =OG . PJOu . ω

Conclusion

Vibrations des structures

Modes propres

Une excitation vibratoire sur une structure mécanique peut engendrer un phénomène de résonance. L'amplitude de la vibration devient alors nettement supérieure à celle de l'excitation. Ce phénomène de résonance peut engendrer la destruction de la structure.

Après avoir été perturbée au voisinage de son état d'équilibre stable, une structure mécanique peut osciller librement, selon un ou plusieurs modes propres de vibration. A chaque mode propre correspond une fréquence propre.

Dans le cas où l'amortisssement est faible, on s'assure que les fréquences des vibrations reçues par la structure mécanique sont différentes des fréquences propres de celle-ci.

Remarques

Systèmes discrets

Un système discret comporte un nombre fini de modes propres.

Il est souvent constitué par un assemblage de masses rigides et de ressorts sans masse. Les pendules en font également partie.

Systèmes continus

Un système continu comporte un nombre infini de modes propres.

Typiquement, il s'agit de poutres ou de plaques pouvant être encastrées, posées sur des appuis...

On distingue plusieurs types de vibrations :

Il existe deux sortes de méthodes de résolution :