MECANIQUE DES FLUIDES

Introduction

Un fluide est un corps dont les forces de cohésion, entre les particules, sont très faibles. Il prend, par conséquent, la forme du récipient qui le contient.

Un fluide parfait est un fluide théorique et idéal, dans lequel les forces de cohésion sont nulles. Un tel fluide, s’il existait, s’étalerait en une pellicule infiniment mince si on le déposait sur une surface plane horizontale.

Propriétés des milieux fluides

Soit, dans un fluide, une facette plane, de surface élémentaire dS (très petite), séparant le fluide en deux zones 1 et 2. L’action de la zone 1 sur la zone 2, au niveau de la facette, est une force élémentaire représentée par le vecteur dF. Ce vecteur se décompose en deux composantes, l’une normale et l’autre tangentielle, notées respectivement dN et dT.

Contrainte normale

La contrainte normale σ se définit par la relation :

σ = p = dNdS

La contrainte normale représente la pression p (en N/mm2 ou Mpa) au voisinage de la facette. Cette pression est indépendante de l’orientation de la facette.

Pressions relative et absolue

La pression peut être :

Contrainte tangentielle

La contrainte tangentielle τ se définit par la relation :

τ = dTdS

La contrainte tangentielle représente l’opposition au glissement relatif des couches fluides en mouvement. Elle est due à la viscosité du fluide. Si le fluide est parfait ou au repos, alors τ = 0.

Fluide newtonien

Un fluide newtonien est un fluide dont la loi contrainte – vitesse de déformation est linéaire. La viscosité d'un fluide newtonien est indépendante des contraintes qui lui sont appliquées.

Viscosités dynamique et cinématique

On distingue la viscosité dynamique et la viscosité cinématique. Soit deux facettes élémentaires parallèles, dV la vitesse de glissement d'une facette par rapport à l'autre et dz la distance (très petite) entre ces deux facettes.

La viscosité dynamique η, en Pa.s, se définit avec la relation :

τ = η . dVdz

dVdz représente le gradient de vitesse.

La viscosité cinématique ν, en m2/s, se définit avec la relation :

ν = ηρ

ρ est la masse volumique du fluide en kg/m3.

Hydrostatique

Loi fondamentale de l’hydrostatique

Soit un fluide :

Dans ce fluide, considérons une portion de fluide de forme parallélépipédique. Notons V le volume, h la hauteur et S la surface de la face supérieure (ou inférieure) de ce parallélépipède. La portion de fluide, en équilibre, est soumises :

D'après le Principe fondamental de la statique :

F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 + P = 0

Compte tenu de la symétrie du système :

F3 = - F4    et    F5 = - F6

Ce qui donne :

F1 + F2 + P = 0

Le calcul des normes de ces trois forces donne :

P = m . g = V . ρ . g = S . h . ρ . g
F1 = p1 . S
F2 = p2 . S

p1 et p2 sont les pressions au niveau des faces supérieures et inférieures du parallélépipède. La relation ci-dessous tient compte des sens des vecteurs représentant les forces.

S . h . ρ . g + p1 . S - p2 . S = 0 ⇒
h . ρ . g + p1 - p2 = 0 ⇒
p1 - p2 = - ρ . g . h

h est l'altitude entre deux particules fluides, l'une située sur la face supérieure et l'autre située sur la face inférieure. On note A et B ces particules fluides.

pA - pB = - ρ . g . (zA - zB)

D'une manière générale, la relation fondamentale de l'hydrostatique s'écrit :

p + ρ . g . z = Constante

p : Pression au voisinage de la particule en Pa.
ρ : Masse volumique du fluide en kg/m3.
g : Accélération de la pesanteur en m/s2.
z : Altitude de la particule en m.

Théorème de Pascal

Supposons que les points A et B subissent les variations de pression ΔpA et ΔpB. D’après la loi fondamentale de l’hydrostatique :

(pA + ΔpA) - (pB + ΔpB) = - ρ . g . (zA - zB) ⇒
ΔpA - ΔpB = - pA + pB - ρ . g . (zA - zB) ⇒
ΔpA = ΔpB

Le théorème de Pascal s'énonce ainsi : Dans un fluide incompressible en équilibre, toute variation de pression en un point entraîne la même variation de pression en tout point.

Théorème d’Archimède

Si on reprend le parallélépipède fluide précédent, la résultante F des forces exercées par le fluide sur le parallélépipède est égal à :

F = F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6

D'après le Principe fondamental de la statique :

F + P = 0
ǁ F ǁ = ǁ P ǁ = poids du fluide

Si le parallélépipède fluide est remplacé par un parallélépipède dans un matériau quelconque, alors le poids du fluide de la relation ci-dessus est remplacé par le poids du parallélépipède qui serait constitué du fluide environnant, autrement dit le poids du fluide déplacé.

Le théorème d’Archimède s'énonce ainsi : L’action d’un fluide en équilibre sur un solide immergé a pour résultante une force verticale, dirigée vers le haut, de norme le poids du fluide déplacé, de point d’application le centre de gravité du fluide déplacé. Cette force est appelée poussée d’Archimède.

Action d'un fluide sur une paroi verticale

Soit une paroi rectangulaire verticale de hauteur h = AB et de largeur l. Sur un coté de cette paroi agit un fluide au repos. Soit R la résultante des forces de pression exercées par le fluide sur le coté de la paroi. On connaît la pression p0 au niveau du point B. Les points A et B sont situés aux altitudes respectives zA = 0 et zB = h.

Norme de la résultante des forces de pression :

ǁ R ǁ = h

0
p(z) . l . dz   ⇒    ǁ R ǁ = l . h . ( p0 + ρ . g . h2 )

Centre de poussée :

d . ǁ R ǁ = h

0
z . p(z) . l . dz   ⇒   d = h2 ( p0 + ρ . g . h3 ) p0 + ρ . g . h2

Remarques

Dynamique des fluides

Description d'un écoulement

Types d'écoulement

Un écoulement dans une conduite est laminaire si les trajectoires des particules sont des lignes régulières.

L'écoulement est turbulent si les trajectoires des particules s’entrevêchent, s’enroulent sur elles-mêmes.

La distribution des vitesses, dans le cas de l’écoulement laminaire d’un fluide réel ou visqueux dans une conduite, montre que les particules fluides n’ont pas toutes la même vitesse.

Débit volumique

Le débit volumique se calcule avec la relation :

Qv = Vmoy . S

Qv : Débit volumique en m3/s.
Vmoy : Vitesse moyenne du fluide en m/s.
S : Section de passage en m2.

Débit massique

Le débit massique se calcule avec la relation :

Qm = ρ . Qv

Qm : Débit massique en kg/s.
ρ : Masse volumique du fluide en kg/m3.

Equation de continuité

Dans une conduite exempte de fuite, la quantité de fluide entrant est égale à la quantité de fluide sortant. L'équation de continuité peut s'écrire sous plusieurs formes. Pour un fluide incompressible, le débit volumique reste constant au cours du temps.

QV A = QV B    ⇒    VA . SA = VB . SB

Nombre de Reynolds

Ce nombre sans dimension permet de prévoir le type d'écoulement dans une conduite. Il se calcule en fonction d'une dimension caractéristique de l'écoulement. Pour une conduite cylindrique, il s'agit du diamètre.

Re = Vmoy . dν

Vmoy : Vitesse moyenne du fluide en m/s.
d : Diamètre de la conduite en m.
ν : Viscosité cinématique en m2/s.

Pertes de charges régulières et singulières

Considérons un liquide circulant dans une conduite horizontale de section constante. Deux tubes plongent dans le liquide en A et B, le liquide s'écoulant de A vers B. Du fait des frottements à l’intérieur de la conduite, le liquide perd de son énergie au fil de l'écoulement, de sorte que le niveau en D soit inférieur au niveau en C. On appelle perte de charge cette dissipation d'énergie.

Les paramètres suivants font augmenter la perte de charge :

On distingue :

La perte de charge s'exprime en diverses unités :

Loi de Poiseuille

Cette loi introduit la notion de résistance hydraulique d'une conduite, dans laquelle circule un fluide en régime laminaire. La résistance hydraulique est proportionnelle à la longueur de la conduire. On écrit :

JAB = R . Qv

JAB : Perte de charge, en Pa.
R : Résistance hydraulique, en Pa.s/m3.
Qv : Débit volumique, en m3/s.

Si on compare la loi de Poiseuille à la loi d'Ohm :

Théorème de Bernoulli

L'équation de Bernoulli s'applique si :

Cas d’un écoulement sans échange de travail

Pour un fluide parfait, on montre, à partir du principe de conservation de l’énergie, la relation de Bernoulli :

V 22 + pρ + g . z = Cte

V : Vitesse d'une particule fluide en m/s.
p : Pression au voisinage de la particule en Pa (1 bar = 1 daN/cm2 = 105 Pa = 0,1 N/mm2).
ρ : Masse volumique du fluide en kg/m3.
g : Accélération de la pesanteur en m/s2.
z : Altitude de la particule en m.

Pour deux particules fluides A et B, la relation de Bernoulli devient :

12 ( VB 2 - VA 2 ) + 1ρ . ( pB - pA ) + g . ( zB - zA ) = 0

Pour un fluide réel, il faut prendre en compte des pertes de charge JAB, exprimées en J/kg. L'écoulement s'effectuant de A vers B, la valeur de JAB est négative. La relation de Bernoulli devient :

12 ( VB 2 - VA 2 ) + 1ρ . ( pB - pA ) + g . ( zB - zA ) = JAB

La relation de Bernoulli s'écrit sous deux autres formes. Dans la deuxième forme ci-dessous, chaque terme de la relation représente une hauteur, en m.

12 . g ( VB 2 - VA 2 ) + 1ρ . g . ( pB - pA ) + ( zB - zA ) = JAB

Dans cette troisième forme, chaque terme de la relation représente une pression, en Pa.

ρ2 ( VB 2 - VA 2 ) + ( pB - pA ) + ρ . g . ( zB - zA ) = JAB

Cas d’un écoulement avec échange de travail

Si le fluide traverse une machine hydraulique, alors il échange de l’énergie E avec cette machine :

L’équation de Bernoulli devient alors :

12 ( VB 2 - VA 2 ) + 1ρ . ( pB - pA ) + g . ( zB - zA ) = E + JAB

L’énergie E s’exprime ici en J/kg. La puissance P en W de la machine hydraulique se calcule avec la relation :

P = E . Qm

Qm est le débit massique en kg/s.

Comparaison entre une machine hydraulique et une machine électrique

Souvent, dans une machine hydraulique :

En conséquence, l'équation de Bernoulli se simplifie. La puissance hydraulique se calcule alors avec la relation :

P = E . Qm = 1ρ . ( pB - pA ) . Qm = ( pB - pA ) . Qmρ

P = Δp . Qv

Si on compare la machine hydraulique à la machine électrique :

Rendement d’un système hydraulique

Le rendement η d’une machine hydraulique est le rapport entre la puissance qu’elle reçoit et la puissance qu’elle fournie. Soit Pa la puissance sur l’arbre et Pf la puissance échangée avec le fluide.

η = PfPa    pour une pompe et   η = PaPf    pour une turbine.

Théorème d'Euler

Enoncé

Considérons une portion de fluide incompressible circulant dans une conduite.

Cette portion de fluide est délimitée par :

Cette portion de fluide est soumise à plusieurs actions mécaniques :

Le fluide étant en mouvement, la somme des forces extérieures ne donne pas le vecteur nul. On se place dans le cas d'un régime stationnaire. Le théorème d'Euler est vrai également dans le cas d'un fluide visqueux.

Qm ( VB - VA ) = ∑ F ext.  ⇒
Qm ( VB - VA ) = P + FA + FB + FL

Qm : Débit massique, en kg/m3.
VA : Vitesse moyenne d'entrée du fluide, en m/s.
VB : Vitesse moyenne de sortie du fluide, en m/s.
F ext. : Somme des forces extérieures, en N.

Application : Action d'un jet d'eau sur une paroi

Soit un jet d'eau suffisamment puissant pour être considéré horizontal, projeté sur une paroi verticale de surface S. L'eau poussant la paroi, cette dernière est retenue par la force F. L'ensemble est situé dans de l'air à la pression atmosphérique Pa.

Appliquons le théorème d'Euler et projetons sur x:

- Qm . VA = - Fparoi/eau + Pa.S

Les forces Fparoi/eau et Feau/paroi étant égales en norme :

- Qm . VA = - Feau/paroi + Pa.S

On isole maintenant la paroi, en équilibre :

Feau/paroi - Pa.S - F = 0  ⇒ Fparoi/eau + Pa.S = - F

On en déduit :

F = Qm . VA

Remarque

Si la paroi paroi se déplace à la vitesse Vparoi alors :

F = Qm . ( VA - Vparoi )

Point de fonctionnement d'un circuit hydraulique

Considérons une pompe déplaçant un fluide dans un circuit hydraulique :

Il est donc possible de tracer deux courbes sur un même graphique, pour obtenir le point de fonctionnement.