MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES

Introduction

Selon Newton, la force est le principe causal du mouvement et du repos. D’une manière plus générale, on appelle action mécanique toute cause susceptible de maintenir un corps au repos, de créer ou modifier son mouvement, ou de le déformer.

Une action mécanique est toujours exercée par un corps sur un autre corps. Elle peut être une action de contact ou une action à distance. On utilise souvent le torseur pour la modéliser.

Définitions

Notion de force

La force est une action mécanique qui tend à pousser ou à tirer un corps. Elle agit en un point.

Elle se caractérise par :

Une force peut se modéliser avec un vecteur. Le support de la force, nommé également droite d'action, est la droite ayant la même direction que la force et passant par son point d'application.

Notion de couple

Un couple est une action mécanique qui tend à faire tourner un corps.

Il se caractérise par :

Un couple peut se modéliser avec un vecteur. Le sens du vecteur est le sens de progression d'un tire-bouchon qui tourne dans le sens du couple. Pour distinguer un couple d'une force, on le dessine souvent avec une double flèche.

Moment d'une force

Par rapport à un point

Exemple

Considérons un écrou serré avec la clé plate correspondante. L'écrou, d'axe vertical, est placé au point O. La force F , horizontale, est exercée à l'extrémité A de la clé. Supposons que cette force soit inclinée d'un angle α par rapport à la clé. Ici, α peut varier de 0° à 180°.

Le couple de serrage est d'autant plus élevé que :

Le couple de serrage est égal au moment par rapport au point O de la force F . Ce moment se calcule avec la relation ci-dessous.

MO F = ǁF ǁ × OA × sin α

OA × sin α est la distance entre le point de calcul O et le support de F . Cette distance se nomme bras de levier.

Dans cet exemple, l'axe de serrage est vertical, mais il aurait pu être horizontal. Et la clé aurait pu desserrer l'écrou au lieu de le serrer. Pour ces raisons, il est commode de représenter le moment par un vecteur.

Ci-dessous, l'axe de l'écrou est vertical. A gauche la clé serre l'écrou, à droite elle le desserre.

Ci-dessous, l'axe de l'écrou est horizontal. A gauche la clé serre l'écrou, à droite elle le desserre.

A chaque fois :

Cas général

Soient :

Le moment par rapport au point B de F est le vecteur MB F perpendiculaire au plan P contenant les points A, B et H.

La distance BH est le bras de levier, B est le point de calcul. Le moment s'exprime en newtons-mètres ou en mètres-newtons (N.m ou m.N).

Remarques

Par rapport à un axe

Soient L, M et N les coordonnées de MB F dans le repère (O; x, y, z ) :

Sous forme vectorielle, on écrit :

On peut aussi écrire :

MB F = M(Bx) F + M(By) F + M(Bz) F

Pour un axe (Bu) passant par le point B et orienté par le vecteur unitaire u :

Torseur d'action mécanique

Variation du moment d'un point à un autre

Soit la force F de point d'application A et deux points B et C quelconques :

MC F - MB F = CA F - BA F = ( CA - BA ) ∧ F = ( CA + AB ) ∧ F = CB F
MC F = MB F + CB F

Cette relation est celle utilisée pour changer le point de réduction d'un torseur.

Modélisation d'une force par un torseur

Soit une force F de point d'application A. Soit un point B de calcul quelconque.

La force F se modélise avec le torseur :

{ T } = A{ F ; 0 } = B{ F ; BA F } = B{ F ; MB F }

Modélisation d'une action mécanique par un torseur

Dans l'exemple d'une table posée sur le sol, l'action du sol sur la table se compose de quatre forces verticales dirigées vers le haut.

Dans le cas général, une action mécanique est constituée d'un ensemble de forces. Notons F0, F1, F2 ... Fn ces forces et M0, M1, M2 ... Mn les points d'application correspondants.

La résultante de cet ensemble de forces se calcule avec la relation :

F = F0 + F1 + F2 + ... + Fn = n

i=0
Fi

Le moment résultant par rapport à un point A de cet ensemble de forces se calcule avec la relation :

MA = AM0F0 + AM1F1 + AM2F2 + ... + AMnFn = n

i=0
AMiFi

Soit une action mécanique dont on retient un point d'application A, de résultante F et de moment résultant MA. Soit un point B de calcul quelconque.

L'action mécanique se modélise par le torseur :

{ T } = A{ F ; MA } = B{ F ; MA + BA F } = B{ F ; MA + MB F }

Ce torseur se nomme "torseur d'action mécanique" ou parfois "torseur statique".

Action mécanique équivalente à une force

Action mécanique équivalente à un couple

Action mécanique dans le cas général

Quel que soit le point de réduction, les éléments de réduction du torseur ne sont jamais nuls.

Action au contact entre deux solides

Différentes actions de contacts

Une action de contact peut être :

Contact ponctuel ou linéique

La pression maximale au niveau d'un contact ponctuel ou linéique peut se déterminer selon le modèle de Hertz. On en propose ci-dessous les formules simplifiées, pour deux cas courants. La pression maximale au niveau du contact doit rester inférieure la pression maximale admissible. Cette dernière dépend des matériaux et des conditions de fonctionnement (sans mouvement relatif, glissement ou roulement entre les solides).

Rayon de courbure relatif

Il se calcule avec la relation :

1rr = 1r1 ± 1r2

rr : Rayon de courbure relatif, en mm.
r1, r2 : Rayons des pièces en contact, en mm.
Signe + pour une tangente extérieure.
Signe - pour une tangente intérieure.

Module d'élasticité équivalent

Il calcule avec la relation :

2Ee = 1E1 + 1E2

Ee : Module d'élasticité équivalent, en MPa.
E1, E2 : Modules d'Young des matériaux des pièces en contact, en MPa.

Pression de contact

Contact sphère-sphère : P = 0,388 . 3F . Ee 2 / rr 2

Contact cylindre-cylindre : P = 0,418 . F . Ee / ( rr . L )

P : Pression de contact, en MPa.
F : Force exercée par un solide sur l'autre, en N.
L : Longueur du contact dans le cas d'un contact cylindre-cylindre, en mm.

Contact surfacique

Soient deux solides 1 et 2 en contact plan sur plan, P étant le plan commun aux deux solides. A chaque point de contact, le solide 1 exerce sur le solide 2 une petite force, dite élémentaire. L'ensemble des forces élémentaires constituent un champ de forces surfaciques. Soit R1/2 la résultante des forces élémentaires exercées par le solide 1 sur le solide 2.

La pression moyenne au niveau du contact est le rapport entre la résultante et la superficie de la surface commune aux deux pièces.

P = R1/2S

P : Pression de contact, en MPa.
R1/2 : Force exercée par un solide sur l'autre, en N.
S : Surface commune, en mm2.

Frottement et adhérence

Introduction

La tribologie désigne la science qui étudie les phénomènes se produisant au contact de corps en mouvements relatifs. Elle s'intéresse au frottement, à l’usure et à la lubrification. On distingue deux sortes de frottements :

Il y a adhérence entre deux solides lorsqu'ils sont immobiles l'un par rapport à l'autre.

Loi de Coulomb

Pour un frottement sec, le facteur de frottement f ne dépend que de la nature (acier sur fonte, acier sur bronze...) et de l’état (rugosité, lubrification...) des surfaces en contact.

Liaison parfaite

Dans le cas d'une liaison parfaite, donc sans frottement, la résultante R1/2 est toujours perpendiculaire au plan P.

Liaison réelle, les deux solides glissant l'un par rapport à l'autre

Dans ce cas, la résultante R1/2 s'incline de l'angle φ, dans le sens contraire du mouvement.

φ est l'angle de frottement.

f = tan φ est le coefficient (ou facteur) de frottement.

Liaison réelle, les deux solides étant immobiles l'un par rapport à l'autre

Dans ce cas, la résultante R1/2 s'incline de l'angle γ, pouvant prendre une infinité de valeurs.

γ est l'angle d'adhérence.

L'ensemble des positions possibles de R1/2 définit un cône nommé le cône d'adhérence.

L'angle γ maximal est égal à l'angle φo. L'expérience permet de constater que φo est légèrement supérieur à φ. Pour simplifier, on considère généralement que ces deux angles sont égaux. A la limite du glissement, l'angle d'adhérence est donc égal à l'angle de frottement.

Exemples de valeurs pour le facteur de frottement

Nature des matériaux en contactFacteur de frottement
Acier / acier0,2
Acier / bronze0,1
Acier / garnitures de freins0,4
Pneu / route sèche0,8
Pneu / route mouillée0,5

Action d'un fluide sur la surface d'un solide

Un fluide est un corps qui prend la forme du récipient qui le contient.

L'action d'un fluide, liquide ou gaz, sur la surface d'un solide se compose d'une multitude de forces élémentaires. Si cette surface est plane, si le fluide est au repos, ces forces élémentaires ont pour résultante une force, de point d'application le centre de surface, de direction perpendiculaire à la surface, dirigée vers le solide.

Cette force se calcule avec la relation :

F = P . S

F : Force exercée par le fluide en N.
P : Pression du fluide en Pa.
S : Superficie de la surface en m2.

Remarques

Action exercée par un ressort

L'action d'un ressort sur une pièce est une force de support l'axe du ressort.

La norme de la force se calcule avec la loi de Hooke :

F = k . ΔL
ΔL = L - Lo pour un ressort de traction.
ΔL = Lo - L pour un ressort de compression.

F : Force exercée par le ressort en N.
k : Raideur du ressort en N/mm.
ΔL : Allongement du ressort en mm.
Lo : Longueur du ressort non chargé en mm.
L : Longueur du ressort sous charge en mm.

Action à distance

Champ de forces volumiques

Les actions mécaniques à distance se répartissent en deux familles :

Lorsqu'un solide est placé dans un champ de pesanteur ou dans un champ électromagnétique, chaque particule de ce solide est soumise à une petite force, dite élémentaire. L'ensemble des forces élémentaires constituent un champ de forces volumiques.

Action de la pesanteur

Le champ de pesanteur est localement constant et dirigé vers le centre de la terre. Les forces élémentaires, s'exerçant sur chaque particule du solide, sont toutes dirigées vers le bas.

Ces forces élémentaires ont pour résultante une force, appelée le poids, de point d'application le centre de gravité G du solide, de direction verticale, dirigée vers le bas.

Le poids se calcule avec la relation :

P = M . g

M : Masse du solide étudié en kg.
g : Accélération de la pesanteur en m/s2. A la surface de la terre, ǁgǁ = g = 9,81 m/s2.

Remarques

Action électromagnétique

Le champ électromagnétique n'est pas constant. Les forces élémentaires, s'exerçant sur chaque particule du solide chargée électriquement, ont des directions variables.

Ces forces élémentaires peuvent avoir pour résultante :

Action transmise par une liaison

Liaison parfaite

Une liaison parfaite se caractérise par :

Torseur de l'action transmissible par les liaisons usuelles

L'action mécanique transmise par une liaison est modélisée par un torseur. Le point de réduction choisi pour ce torseur est le centre de liaison. La liaison étant parfaite, à chaque degré de liberté dans la liaison correspond une coordonnée nulle dans le torseur.

Exemples

LiaisonSchémaDegrés de libertéTorseur de l'action transmissible par la liaison
Liaison appui-plan de normale (A z) Tx   /
Ty   /
/   Rz
{T 1/2} = A{R1/2 ; MA 1/2} = A{ 0  L
0  M
Z  0
}
Liaison pivot-glissant d'axe (A x) Tx   Rx
/   /
/   /
{T 1/2} = A{R1/2 ; MA 1/2} = A{ 0  0
Y  M
Z  N
}

Forme particulière du torseur en modélisation plane

Beaucoup de problèmes de mécanique se situent dans le plan. On dit que le problème est plan. Les torseurs associés aux actions mécaniques :

Par exemple, dans le cas d'un problème dans le plan (O x y), pour chaque torseurs associé à une action mécanique :

Les torseurs sont donc de la forme :   { T } = A{ X  0
Y  0
0  N
}

On peut également écrire :   { T } = A{ X  -
Y  -
-  N
}

Le petit trait horizontal à la place du zéro signifie que la valeur de la coordonnée est inutile pour la résolution du problème.

Liaison avec frottement

Lorsque les frottements ne sont pas négligeables, les zéros, dans le torseur de l’action transmissible par la liaison, sont remplacés par des valeurs relativement modestes.