MODELISATION DES LIAISONS

Introduction

La mécanique est la science des lois du mouvement et de l'équilibre.

Modéliser signifie transformer un problème réel en problème mathématique. Généralement, il existe plusieurs modèles possibles pour un même problème réel. Certains modèles ont l'avantage d'être simples. D'autres représentent plus fidèlement la réalité.

Une liaison théorique et idéale est constituée de pièces indéformables, aux surfaces géométriquement parfaites, sans jeu et sans frottement. Dans la réalité, toutes les pièces sont déformables. Les surfaces sont rugueuses et des jeux indispensables au bon fonctionnement de la liaison. Les frottements s'opposent aux déplacements.

Notion de solide

Définition

Un solide est un corps qui résiste aux efforts auxquels il est soumis. Un fluide, au contraire, prend la forme du récipient qui le contient.

Solide indéformable

C'est un solide théorique et idéal tel que, quels que soient A et B deux points de ce solide, la distance AB reste constante, au cours du temps pendant lequel se déroule son étude.

Concrètement, les pièces d'un mécanisme sont, pour la plupart, assimilées à des solides indéformables. La notion de temps pendant lequel se déroule l'étude a son importance.

Exemples

Groupe cinématiquement lié

Un solide est souvent constitué de plusieurs pièces considérées indéformables, fixées entre elles à l’aide de vis, de clavettes, de goupilles... Ces pièces constituent un groupe cinématiquement lié. On dit aussi qu’elles appartiennent à une classe d’équivalence de l’ensemble des pièces du mécanisme, muni de la relation "sans mouvement relatif".

Système de solides

C'est un ensemble de solides liés entre eux par des liaisons. On parle de système car le mouvement d'un solide dépend des mouvements des solides environnants.

Nature géométrique du contact

Géométrie du contact

Le contact entre deux solides peut être ponctuel, linéique ou surfacique.

Exemples

Contacts ponctuelsContacts linéiquesContacts surfaciques
Sphère sur plan
Cylindre sur plan
Plan sur plan
Cylindre sur cylindre
Sphère dans cylindre
Cylindre dans cylindre

Remarques

Repère local associé au contact

Pour décrire les mouvements relatifs entre deux solides, on définit un repère local associé au contact.

On notera que le repère local associé au contact n’est lié à aucun des solides en présence. Par exemple, dans le cas d'une bille roulant sur une surface plane, le centre de liaison est le point de contact, lequel n'est lié ni à la bille, ni au plan.

La géométrie d’un contact ne suffit pas à caractériser une liaison.

Exemple

Un contact cylindre dans cylindre engendre une liaison :

Notion de liaison

Degrés de liberté

Considérons deux solides en contact. Un degré de liberté, c'est une possibilité de mouvement, de translation ou de rotation, selon un des trois axes du repère local associé au contact.

Un solide sans liaison aucune possède six degrés de liberté :

Définition

On appelle liaison tout obstacle qui supprime un ou plusieurs degrés de liberté. La nature d’une liaison ne dépend que de ses degrés de liberté.

Liaison élémentaire

L'association deux à deux des surfaces géométriques élémentaires, que sont le plan, le cylindre et la sphère, permet d'introduire six liaisons dites simples ou élémentaires.

Surfaces géométriquesLiaison
Plan-planAppui-plan
Cylindre-cylindrePivot-glissant
Sphère-sphèreRotule
Cylindre-planLinéaire-rectiligne
Sphère-planPonctuelle
Sphère-cylindreLinéaire-annulaire

Liaison composée

On parle de liaison composée lorsque deux solides sont liés entre eux par plusieurs liaisons élémentaires. Dans l'exemple ci-dessous, la liaison entre les solides 1 et 2 est une liaison appui-plan composée d'une liaison linéaire-rectiligne et d'une liaison ponctuelle.

Les liaisons composées ci-dessous ont été retenues car leur rôle en technologie de construction est important, en particulier pour les fonctions de guidage et de mise en position.

Symboles utilisés en mécanique

Schémas des liaisons

Les six liaisons élémentaires auxquelles s'ajoutent cinq liaisons composées constituent les liaisons normalisées.

Nom de la liaisonReprésentation spatialeReprésentation planeDegrés de liberté
Encastrement en A Aucun degré de liberté
Pivot
d'axe (Ax)
1 degré de liberté
Rx
Glissière
d'axe (Ax)
1 degré de liberté
Tx
Hélicoïdale
d'axe (Ax)
1 degré de liberté
Tx et Rx conjuguées
Pivot-glissant
d'axe (Ax)
2 degrés de liberté
Tx et Rx
Rotule ou sphérique
de centre A
3 degrés de liberté
Rx, Ry et Rz
Sphérique à doigt
de centre A
bloquée en z
2 degrés de liberté
Rx et Ry
Appui-plan
de normale (Az)
3 degrés de liberté
Tx, Ty et Rz
Linéaire-annulaire
d'axe (Ax)
4 degrés de liberté
Tx, Rx, Ry et Rz
Linéaire-rectiligne
de normale (Az)
de droite de contact (Ax)
4 degrés de liberté
Tx, Ty, Rx et Rz
Ponctuelle
de normale (Az)
5 degrés de liberté
Tx, Ty, Rx, Ry et Rz

Graphe des liaisons et schéma cinématique

Le graphe des liaisons d'un mécanisme fait apparaître :

Exemple relatif à un moteur à piston

Graphe des liaisons :

Groupes cinématiquement liés :

Description des liaisons :

Schéma cinématique en perspective :

Symboles utilisés en productique

Première partie de la norme

Elle concerne les symboles de base utilisés dans la définition de la mise en position géométrique d'une pièce. Elle ne permet pas de connaître les technologies utilisées pour la mise en position et pour le maintien en position.

Symboles de base

Exemple d'une liaison appui-plan :

Symbolisations frontales équivalentesSymbolisation projetée
Représentation normaleReprésentation simplifiée

Deuxième partie de la norme

Elle concerne les symboles utilisés sur les contrats de phase pour représenter les éléments d'appui et de maintien des pièces au cours de l'usinage. Chaque symbole se construit à l'aide de quatre éléments.

Nature de la surface et fonction de l'élément technologique :

Nature de la surfaceFonction de l'élément technologique
MIP (mise en position)MAP (maintien en position)
Surface usinée
Surface brute

Exemples du type de technologie et de la nature du contact :

SymboleSignification
Touche plate fixe de départ d'usinage en appui sur une surface usinée
Touche bombée fixe de départ d'usinage sur une surface brute
Mors striés à serrage concentrique flottant utilisés comme entraîneurs sur une surface brute
Touche bombée de soutien irréversible sur surface brute

Liaison équivalente

Introduction

Une table à trois pieds repose toujours sur ses trois pieds. Pouvant se translater horizontalement ou tourner autour d'un axe vertical, elle constitue une liaison appui-plan avec le sol. La liaison entre un pied de table et le sol étant ponctuelle, les trois liaisons ponctuelles forment une liaison appui-plan. Celle-ci est isostatique.

Une table à quatre pieds est bancale si la planéité du sol ou la souplesse de la table sont insuffisantes. La liaison appui-plan équivalente aux quatre liaisons ponctuelles est hyperstatique d'ordre 1. Si la table comportait cinq pieds, la liaison équivalente serait hyperstatique d'ordre 2.

Il est fréquent, en mécanique, que plusieurs liaisons soient équivalentes à une seule liaison. Lors de la conception d'une liaison, on cherche à ce que son degré d'hyperstatisme soit le plus faible possible.

Exemple d'un guidage sur deux roulements à billes

Le montage sur deux roulements à billes est un exemple classique. Le roulement supportant la charge axiale est modélisé avec une liaison rotule, l'autre roulement avec une liaison linéaire-annulaire. Les deux liaisons forment une liaison pivot.

Association de liaisons en parallèle

n liaisons L1, L2, ..., Ln sont en parallèle entre deux solides S0 et S1 si chaque liaison relie directement ces deux solides.

Au niveau de chaque liaison, une action mécanique est transmise par le solide S1 sur le solide S0. Notons {T1}, {T2}, ... , {Tn} les torseurs d'action mécanique correspondants.

Le torseur équivalent s'écrit : {Téq.} = {T1} + {T2} + ... + {Tn}

La forme du torseur équivalent permet de déduire la nature de la liaison équivalente.

Si on néglige le poids, le PFS appliqué au solide S0 s'écrit : {Téq.} = {0}. Il en résulte un système de rs équations indépendantes à Ns inconnues.

A partir de rs et de Ns, on calcule :

Exemple

Dans un montage d'usinage pour une pièce de forme prismatique, la mise en position est souvent réalisée avec six appuis fixes à contact ponctuel, notés 1 à 6. Chaque appui est une liaison ponctuelle supprimant un degré de liberté.

Association de liaisons en série

n liaisons L1, L2, ..., Ln sont en série entre deux solides S0 et Sn si elles sont disposées à la suite l'une de l'autre par l'intermédiaire de (n-1) solides.

Au niveau de chaque liaison Li, une action mécanique est transmise par le solide Si sur le solide Si-1. Notons {Ti} le torseur d'action mécanique correspondant.

Si on néglige les poids, le PFS appliqué sur chaque solide s'écrit : {T1} = {T2}, {T2} = {T3}, ... , {Tn-1} = {Tn}

Le torseur équivalent s'écrit : {Téq.} = {T1} = {T2} = ... = {Tn}

La forme du torseur équivalent permet de déduire la nature de la liaison équivalente.

Exemple

La liaison rotule entre les pièces 2 et 4 et la liaison appui-plan entre les pièces 4 et 7 forment une liaison ponctuelle entre les pièces 2 et 7. L'intérêt de ce pied à rotule est de remplacer un contact ponctuel par un contact surfacique. Celui-ci supporte des efforts bien plus importants qu'un contact ponctuel.