Poutre en ... | Résistance | Déformation |
---|---|---|
Traction-compression |
σ = FSo Rpe = Res σ ≤ Rpe |
σ = E.ε ε = ΔLLo |
Cisaillement |
τ = FS Rpg = Regs Reg ≈ Re2 τ ≤ Rpg |
- |
Flexion |
σ = Mf IGz . v Rpe = Res σ ≤ Rpe |
y" = Mf E.IGz |
Torsion |
τ = Mt IGx . v Rpg = Regs Reg ≈ Re2 τ ≤ Rpg |
α = θ.L θ = Mt G.IGx |
Sollicitations composées |
Tresca : σe = σ 2 + 4.τ 2 Von Mises : σe = σ 2 + 3.τ 2 | Principe de superposition |
L'exemple de programme en Python ci-dessous permet d'obtenir la déformée d'une poutre posée sur deux appuis et chargée en son centre.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np P=200 # Force exercée sur la poutre (N) L=500 # Longueur de la poutre (mm) E=200000 # Module d'Young (MPa) I=70000 # Moment quadradratique (mm⁴) def y(x): return (x<=L/2)*P*(4*x**3-3*x*L**2)/(48*E*I)+(x>L/2)*P*(4*(L-x)**3-3*(L-x)*L**2)/(48*E*I) x=np.linspace(0,L,200) plt.figure("Poutre en flexion sur deux appuis") plt.title("Flèche maximale : "+str(round(-1*np.min(y(x)),3))+" mm") plt.xlabel("Poutre (mm)") plt.ylabel("Flèche (mm)") plt.grid(True) plt.plot(x, y(x), color='#ff0000') plt.show()
Le module d’un engrenage se calcule classiquement avec la formule :
m = 2,34 . Ft / ( k . Rpe )
Avec Ft = F . cos(α) et k = b / m
m : Module, en mm
Ft : Force tangentielle, en N
k : Coefficient de largeur de denture
Rpe : Résistance pratique à l'extension du matériau, en MPa
F : Force sur une dent, en N
α : Angle de pression (20° pour une denture normalisée)
b : Largeur de denture, en mm
Une dent est assimilée à une poutre :
Les sollicitations de compression et de cisaillement sont négligées.
Mf = 2,25 . m . Ft
IGz v = b . (0,5 . π . m)2 6 = k . π2 . m3 24
σmax = Rpe = Mf IGz . v = 2,25 . m . Ft . 24 k . π2 . m3 = 2,25 . Ft . 24 k . π2 . m2 = 5,47 . Ft k . m2
m2 = 5,47 . Ft k . Rpe
m = 5,47 . Ft / ( k . Rpe ) = 2,34 . Ft / ( k . Rpe )
La raideur d’un ressort se calcule classiquement avec la formule :
k = G . d 4 8 . D 3 . n
k : Raideur du ressort, en N/mm
G : Module d’élasticité transversal du matériau, en MPa
d : Diamètre du fil, en mm
D : Diamètre moyen du ressort, en mm
n : Nombre de spires utiles du ressort
Le fil constituant le ressort agit essentiellement en torsion. La flexion et le cisaillement sont négligés. On considère un ressort :
L'approche énergétique facilite la résolution du problème. Exprimé simplement :
W = F . x = Mt . α
F . x = Mt . θ . L
Pour une spire complète : L = π . D
F . x = Mt . Mt G . IGx . π . D = Mt2 . π . D G . IGx
La charge F agissant sur l'axe du ressort : Mt = F . D2
F . x = F2 . D2 . π . D 4 . G . IGx
x = F . D3 . π 4 . G . IGx
k = Fx = 4 . G . IGx D3 . π = 4 . G . π . d4 D3 . π . 32 = G . d4 8 . D3
Cette raideur k correspond à une seule spire. Pour n spires, la longueur L est multipliée par n. On retrouve ainsi la formule de départ.