RESISTANCE DES MATERIAUX
COMPLEMENTS

Tableau de synthèse

Programme en Python

L'exemple de programme en Python ci-dessous produit la déformée d'une poutre posée sur deux appuis et chargée en son centre.

Programme

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

P = 200     # Force exercée sur la poutre (N)
L = 500     # Longueur de la poutre (mm)
E = 200000  # Module d'Young (MPa)
I = 70000   # Moment quadradratique (mm⁴)

x = np.linspace(0,L,200)
y = (x<=L/2)*P*(4*x**3-3*x*L**2)/(48*E*I) + (x>L/2)*P*(4*(L-x)**3-3*(L-x)*L**2)/(48*E*I)

plt.figure("Poutre en flexion sur deux appuis")
plt.title("Flèche maximale : "+str(round(-1*np.min(y),3))+" mm")
plt.xlabel("Poutre (mm)")
plt.ylabel("Flèche (mm)")
plt.grid(True)
plt.plot(x, y, color='#ff0000')
plt.show()

Résultat

Calcul d'un engrenage

Formule

Le module d’un engrenage se calcule classiquement avec la formule :

m = 2,34 . F_tk . Rpe

Avec   F_t = F . cos(α)    et   k = bm

m : Module, en mm
F_t : Force tangentielle, en N
k : Coefficient de largeur de denture
Rpe : Résistance pratique à l'extension du matériau, en MPa
F : Force sur une dent, en N
α : Angle de pression (20° pour une denture normalisée)
b : Largeur de denture, en mm

Démonstration

Une dent est assimilée à une poutre :

• De longueur 2,25 . m et de section constante, d'épaisseur e = 0,5 . π . m (la moitié du pas).
• Chargée à une extrémité, de la composante tangentielle F_t de la force reçue par la dent.
• Encastrée à l'autre extrémité, dont la contrainte maximale est égale à la valeur limite Rpe.

Les sollicitations de compression et de cisaillement sont négligées.

M_f = 2,25 . m . F_t

I_Gzv = b . (0,5 . π . m)²6 = k . π² . m³24

σ_max = Rpe = M_f I_Gz . v = 2,25 . m . F_t . 24 k . π² . m³ = 2,25 . F_t . 24 k . π² . m² = 5,47 . F_t k . m²

m² = 5,47 . F_t k . Rpe

m = 5,47 . F_tk . Rpe = 2,34 . F_tk . Rpe

Calcul d'un ressort

Formule

La raideur d’un ressort se calcule communément avec la formule :

k = G . d ⁴ 8 . D ³ . n

k : Raideur du ressort, en N/mm
G : Module d’élasticité transversal du matériau, en MPa
d : Diamètre du fil, en mm
D : Diamètre moyen du ressort, en mm
n : Nombre de spires utiles du ressort

Démonstration

Une étude approfondie montrerait que le fil constituant le ressort agit essentiellement en torsion. Les autres sollicitations sont négligeables. Considérons un ressort :

• Comportant une seule spire.
• S'allongeant de la longueur x sous la charge F.

L'approche énergétique facilite la résolution du problème. De manière simplifiée :

• Le travail d'une force est le produit de cette force par son déplacement.
• Le travail d'un couple est le produit de ce couple par sa rotation.

W = F . x = M_t . α

F . x = M_t . θ . L

Pour une spire complète :  L = π . D

F . x = M_t . M_t G . I_Gx . π . D = M_t² . π . D G . I_Gx

Isoler un quart de spire mène à l'égalité :

F . x = F² . D² . π . D 4 . G . I_Gx

x = F . D³ . π 4 . G . I_Gx

k = Fx = 4 . G . I_Gx D³ . π = 4 . G . π . d⁴ D³ . π . 32 = G . d⁴ 8 . D³

Cette raideur k correspond à une seule spire. Pour n spires, la longueur L est multipliée par n. On retrouve ainsi la formule de départ.