RESISTANCE DES MATERIAUX
CONTRAINTES DANS UNE PIECE

Introduction

Toute pièce se déforme lorsqu'elle est soumise à des actions mécaniques. L'amplitude des déformations dépend du matériau constituant la pièce. Elle augmente avec l'intensité des actions exercées et peut conduire à la rupture.

La résistance des matériaux (RdM) a pour objet :

Hypothèses de la RdM

Le solide déformable

Matériau constituant le solide

Dans une étude de RdM, le matériau est généralement considéré :

Forme du solide

La forme de solide usuelle est la poutre, c'est à dire un solide de forme allongée.

Pour être plus précis, une poutre est un solide engendré par le déplacement d'une surface plane S, dont le barycentre (ou centre de surface) G décrit une ligne Δ, perpendiculaire en tout point au plan contenant S. La ligne Δ est appelée ligne moyenne.

Les caractéristiques d'une poutre sont :

Les déformations

Hypothèse des petites déformations

La pièce se déformant peu, l'influence des déformations sur les positions des points d'application des charges est négligeable.

Par exemple, dans le cas de la poutre ci-dessous chargée et encastrée à ses extrémités, si la déformation est petite, le moment en A est proportionnel à la longueur AB de la poutre. Si la déformation est importante, il faut tenir compte de la nouvelle position de l'extrémité B pour le calcul du moment en A.

Hypothèse de Bernoulli

Il n'y a pas de gauchissement des sections droites : Toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation.

Les actions exercées

Types d'actions extérieures

Une poutre peut être soumise à trois sortes d'actions extérieures :

Hypothèse de Barré de Saint Venant

Dans les zones éloignées des points d'applications des charges, la répartition des contraintes dans une section droite est indépendante des modes d'application.

Efforts de cohésion dans une section droite

Contraintes en un point de la section droite

Section droite

Une section droite de poutre est une section plane perpendiculaire à la ligne moyenne de cette poutre. Elle sépare la poutre en deux parties, le tronçon de droite et le tronçon de gauche. Puisqu'elle coupe fictivement la poutre en deux parties, on la nomme section de coupure.

Vecteur contrainte

Dans une section droite, considérons une surface élémentaire (très petite) dS. Sur cette surface, le tronçon de droite exerce sur tronçon de gauche la force élémentaire dF.

Le vecteur contrainte C se définit avec la relation :

C = dF dS

Contraintes normale et tangentielle

Le vecteur contrainte C se décompose en une contrainte normale σ et une contrainte tangentielle τ .

C = σ + τ

En somme, tout point d'une section droite de poutre peut être soumis à une contrainte normale et à une contrainte tangentielle.

Torseur des efforts de cohésion

Efforts de cohésion

Une section de coupure étant choisie, isolons un des deux tronçons, par exemple celui de gauche.

Ce tronçon de gauche est soumis :

Le tronçon de gauche est en équilibre. D'après le PFS :

{ T coh. } + { T ext. } = { 0 }

Cette relation permet de déterminer le torseur des efforts de cohésion au barycentre G de la section de coupure.

{ T coh. } = G { R ; MG }

Efforts normal, tranchant, moments de flexion, de torsion

La résultante R se décompose en un effort normal N et un effort tranchant T.

R = N + T

De même, le moment MG se décompose en un moment de flexion ou moment fléchissant Mf et un moment de torsion Mt.

MG = Mf + Mt

En tout point de la section de coupure :

Diagrammes associés aux efforts de cohésion

Principe

En déplaçant la section de coupure le long de la poutre, on obtient diverses valeurs pour l'effort normal, l'effort tranchant, le moment de flexion et le moment de torsion. On peut ainsi tracer les quatre diagrammes correspondants.

Exemple

Essai de traction

Description de l'essai

Cet essai consiste à exercer sur une éprouvette une force de traction F croissante et progressive, jusqu'à rupture. Dans l'exemple ci-dessous, l'éprouvette est de section cylindrique.

F : Force de traction exercée sur l'éprouvette, en N.
lo : Longueur entre deux repères réalisés sur l'éprouvette au repos, en mm.
l : Longueur entre les deux repères sur l'éprouvette chargée, en mm.
lu : Longueur ultime entre les deux repères sur l'éprouvette rompue, en mm.
So : Section de l'éprouvette au repos, en mm2.
S : Section de l'éprouvette chargée, en mm2.
Su : Section ultime de l'éprouvette rompue, en mm2.

Remarque : Le plan de rupture est souvent incliné de 45° environ.

Courbes obtenues

Les courbes obtenues à partir de l'essai de traction comportent généralement deux zones.

Deux courbes de même forme peuvent être tracées. La courbe force-allongement dépend du matériau et des dimensions de l'éprouvette. La courbe contrainte-déformation ne dépend que du matériau constituant l'éprouvette.

Δl = l - lo : Allongement, en mm.

ε = Δl lo : Déformation (sans unité).

σ = F So : Contrainte, en MPa ou N/mm2.

Remarques :

Caractéristiques mécaniques déduites de l'essai

E = σ ε : Module d'élasticité longitudinal ou module d'Young, en MPa ou N/mm2.

Re = Fe So : Résistance limite élastique, en MPa ou N/mm2.

Rm = Fm So : Résistance limite à la rupture, en MPa ou N/mm2.

A% = lu - lo lo . 100 : Pourcentage de l'allongement après rupture (sans unité).

Moment quadratique d'une surface

Barycentre ou centre de surface

Les moments quadratiques d'une surface sont recherchés par rapport à un axe passant par le barycentre G de la surface. Il est donc nécessaire de connaître la position de ce point.

Une surface peut fréquemment se décomposer en n surfaces dont on connaît les barycentres Gi et les superficies Si. Soit O un point quelconque. La position du barycentre G de la surface se calcule avec la relation ci-dessous.

OG = S1.OG1+ S2.OG2+...+ Sn.OGn S1+S2+...+Sn

S1+S2+...+Sn représente la superficie totale de la surface. Pour des raisons pratiques, le point O est généralement l'origine du repère dans lequel s'écrivent les coordonnées des points Gi.

Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe situé dans son plan

Pour une section droite de surface S et de barycentre G :

IGz = y2 . dS

IGy = z2 . dS

Théorème de Huygens

IOy = IGy + S . d2

Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe perpendiculaire à son plan

IGx = IGy + IGz

Quelques valeurs de moments quadratiques

Section droiteIGxIGyIGz
π . d 432 π . d 464 π . d 464
b . h . ( b 2 + h 2 )12 h . b 312 b . h 312

Sollicitations simples

Définition

Une sollicitation est dite simple si les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion ne comportent qu'un seul des éléments N, T, Mf ou Mt non nuls. Il existe donc quatre sollicitations simples.

Traction-compression

Si on tire sur les extrémités d'une poutre, elle est soumise à de la traction. Si on pousse sur ses extrémités de manière à la comprimer sans qu'il y ait de flambage, elle est soumise à de la compression.

La poutre étant coupée fictivement en deux parties, l'action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche a pour résultante l'effort normal N.

{ T coh. } = G { N ; 0 }

Contraintes dans la section de coupure

Tout point de la section de coupure est soumis à la même contrainte normale σ.

La contrainte normale σ se calcule avec la relation :

σ = NS

S : Superficie de la section de coupure, en mm2.

Cisaillement

Si à droite d'une section donnée la poutre est soumise à une force transversale et à gauche de cette même section, à une force transversale opposée, elle est soumise à du cisaillement.

La poutre étant coupée fictivement en deux parties, l'action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche a pour résultante l'effort tranchant T.

{ T coh. } = G { T ; 0 }

Contraintes dans la section de coupure

Tout point de la section de coupure est soumis à la même contrainte tangentielle τ.

La contrainte tangentielle τ se calcule avec la relation :

τ = TS

S : Superficie de la section de coupure, en mm2.

Torsion

Si on exerce à l'extrémité d'une poutre un couple, et à l'autre extrémité un autre couple de sens opposé, ces couples ayant pour direction celle de la ligne moyenne, elle est soumise à de la torsion.

La poutre étant coupée fictivement en deux parties, l'action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche a pour résultante le moment de torsion Mt.

{ T coh. } = G { 0 ; Mt }

Contraintes dans la section de coupure

Tout point de la section de coupure est soumis à une contrainte tangentielle τ. Plus ce point est éloigné du barycentre G, plus cette contrainte est importante.

La contrainte tangentielle maximale τmax se calcule avec la relation :

τmax = Mt IGx . v

IGx : Moment quadratique de la section de coupure par rapport à l'axe (Gx), en mm4.
v : Distance maximale entre un point de la section de coupure et le point G, en mm.
IGxv : Module de torsion, en mm3.

Flexion pure

Si on exerce à l'extrémité d'une poutre un couple, et à l'autre extrémité un autre couple de sens opposé, ces couples ayant une direction perpendiculaire à celle de la ligne moyenne, elle est soumise à de la flexion pure.

La poutre étant coupée fictivement en deux parties, l'action du tronçon de droite sur le tronçon de gauche a pour résultante le moment de flexion Mf.

{ T coh. } = G { 0 ; Mf }

Contraintes dans la section de coupure

Tout point de la section de coupure est soumis à une contrainte normale σ. Plus ce point est éloigné de l'axe (Gz), plus cette contrainte est importante.

La contrainte normale maximale σmax se calcule avec la relation :

σmax = Mf IGz . v

IGz : Moment quadratique de la section de coupure par rapport à l'axe (Gz), en mm4.
v : Distance maximale entre un point de la section de coupure et l'axe (Gz), en mm.
IGzv : Module de flexion, en mm3.

Conditions de résistance

Résistances limites des matériaux

On note généralement :

Selon le cas, la contrainte maximale dans la pièce doit être inférieure à une des limites ci-dessus.

Relation entre Re et Rec

La plupart des matériaux résistent aussi bien en traction qu'en compression.
On a alors : Re = Rec

D'autres matériaux, comme le béton, résistent mieux en compression qu'en traction.
On a alors : Re < Rec

Relation entre Re et Reg

Le rapport entre Re et Reg dépend du matériau. Pour simplifier et par précaution, on retient souvent le facteur le plus défavorable.
On pose alors : Reg = 0,5 x Re

MatériauReg/Re
Aciers doux, alliages d'aluminium≈ 0,5
Aciers mi-durs0,7
Aciers durs et fontes≈ 0,8

Coefficient de sécurité

Pour éviter de se retrouver dans une situation limite, on définit le coefficient de sécurité s, toujours supérieur à 1 et sans unité. La contrainte maximale dans la pièce doit rester inférieure à la résistance pratique.

Rpe = Res : Résistance pratique à la traction, en MPa ou N/mm2.

Rpc = Recs : Résistance pratique à la compression, en MPa ou N/mm2.

Rpg = Regs : Résistance pratique au glissement, en MPa ou N/mm2.

Le flambement

Le flambement ou flambage est un phénomène d'instabilité apparaissant lorsqu'une poutre à grand allongement est soumise à de la compression. La section de coupure est alors soumise à un effort normal, mais également à un moment de flexion. Pour une poutre de section constante, la charge critique de flambage théorique peut se calculer avec la formule d'Euler.

Fc = π2 . E . IGz L2

Fc : Charge critique, en N.
E : Module d'Young, en MPa.
IGz : Moment quadratique par rapport à l'axe (Gz), en mm4.
L : Longueur de la poutre, en mm.

Sollicitations composées

Définition

Une sollicitation est dite composée si les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion comportent au moins deux des éléments N, T, Mf ou Mt non nuls. La flexion-torsion et la flexion-traction en sont deux exemples.

Critères de Tresca et de Von Mises

A partir des contraintes normale σ et tangentielle τ calculées en un point de la section de coupure, on détermine la contrainte normale équivalente σe. On recherche le point de la section de coupure pour lequel σe est maximal. La valeur maximale de σe est ensuite comparée à la résistance limite élastique Re.

Contrainte de Tresca :

σe = σ 2 + 4.τ 2

Contrainte de Von Mises :

σe = σ 2 + 3.τ 2

Exemple : La flexion simple

La flexion simple constitue un cas classique de sollicitations composées. Le torseur des efforts de cohésion comporte un moment de flexion et un effort tranchant.

{ T coh. } = G { T ; Mf }

L'exemple ci-dessous est celui d'une poutre chargée, posée sur deux appuis à ses extrémités.

Remarque : La flexion simple n'est pas une sollicitation simple.

Diagrammes

Les valeurs de T et de Mf varient en fonction de la section de coupure, dont la position est repérée par son abscisse x. Les diagrammes des efforts tranchants et des moments de flexion permettent repérer rapidement les parties les plus sollicitées de la poutre. Ci-dessous, ces diagrammes ont été tracés en isolant le tronçon de gauche.

Diagramme des efforts tranchants :

Diagramme des moments de flexion :

Concentration des contraintes

La concentration des contraintes est un problème souvent rencontré dans la conception mécanique. C’est un phénomène d’augmentation locale des contraintes dans une zone comportant une variation importante de section.

Dans l'exemple d'une plaque percée soumise à de la traction, la zone située à proximité du trou est la plus sollicitée. La contrainte réelle maximale σréelle au voisinage du trou est le produit de la contrainte nominale (ou moyenne) σnom par le coefficient de concentration de contraintes Kt.

σréelle = σnom . Kt

La contrainte réelle maximale est comparée à la résistance pratique à la traction Rpe.

σréelleRpe

Le coefficient de concentration de contraintes se détermine de diverses manières :

Exemple d'abaque pour déterminer Kt