RESISTANCE DES MATERIAUX
DEFORMATIONS D'UNE POUTRE

Introduction

Dans le calcul des déformations d'une poutre, les hypothèses de la RDM doivent être vérifiées. En particulier, la poutre étudiée subit des déformations élastiques uniquement.

Poutre sollicitée en traction-compression

Loi de Hooke

L'allongement d'une poutre se calcule avec la relation :

FSo = E . L - LoLo = E . ΔLLo

F : Force de traction ou de compression exercée sur la poutre, en N.
So : Section de la poutre au repos, en mm².
E : Module d'Young, en MPa.
L : Longueur de la poutre chargée, en mm.
Lo : Longueur de la poutre au repos, en mm.
ΔL : Allongement de la poutre, en mm.

Valeurs indicatives du module d'élasticité longitudinal

Poutre sollicitée en flexion plane

Cas général

Une poutre se déforme lorsqu'elle est chargée. On appelle déformée la ligne moyenne de la poutre chargée.

Tout point M de la ligne moyenne d'abscisse x a pour flèche y(x). On montre que :

1R = y"(x) = M_f (x)E.I_Gz

R : Rayon de courbure, en mm.
M_f (x) : Moment de flexion au point d'abscisse x, tronçon de gauche isolé, en N.m.
E : Module d'Young, en MPa.
I_Gz : Moment quadratique par rapport à l'axe (Gz), en mm⁴.

Remarques

• La relation ci-dessus ne prend pas en compte l'effort tranchant, celui-ci étant négligeable pour le calcul de la déformée.
• Si le moment de flexion est constant, alors R l'est aussi et la poutre est en flexion circulaire.

Exemple d'une poutre encastrée chargée à son extrémité

Schéma

Diagramme des moments de flexion

Equations obtenues

Pour 0 < x < L :

E . I_Gz . y"(x) = - P . x  ⇒

E . I_Gz . y'(x) = - P . x²2 + C₁  ⇒

E . I_Gz . y(x) = - P . x³6 + C₁ . x + C₂

Calcul des constantes C₁ et C₂ :

y'(L) = 0  ⇒  - P . L ²2 + C₁ = 0  ⇒  C₁ = P . L ²2

y(L) = 0  ⇒  - P . L ³6 + C₁ . L + C₂ = 0  ⇒   C₂ = - P . L ³3

Conclusion

y(x) = P (- x ³ + 3 . L ² . x - 2 . L ³) 6 . E . I_Gz

Flèche maximale :  y(0) = - P . L ³ 3 . E . I_Gz

Exemple d'une poutre sur deux appuis chargée en son centre

Schéma

Diagramme des moments de flexion

Equations obtenues

Pour 0 < x < L/2 :

E . I_Gz . y"(x) = P . x 2  ⇒

E . I_Gz . y'(x) = P . x² 4+ C₁  ⇒

E . I_Gz . y(x) = P . x³ 12+ C₁ . x + C₂

Calcul des constantes C₁ et C₂ :

y(0) = 0  ⇒  C₂ = 0

y'(L/2) = 0  ⇒   P . L ²16 + C₁ = 0  ⇒  C₁ = - P . L ²16

Conclusion

y(x) = y(L - x) = P ( 4 . x ³ - 3 . L ² . x ) 48 . E . I_Gz

Flèche maximale :  y(L/2) = - P . L ³ 48 . E . I_Gz

Formulaire pour quelques cas particuliers

Charges-Appuis	Moment de flexion	Flèche maximale
		y(0) = - P . L 3 3 . E . IGz
		y(0) = - P . ( L - a )2 . ( 2L + a ) 6 . E . IGz
		y(L/2) = - P . L 3 48 . E . IGz
		y(L/2) = - P . a2 . b2 3 . E . IGz . L

Principe de superposition

L’effet produit par plusieurs actions mécaniques est égal à la somme des effets produits par ces actions mécaniques prises séparément.

Poutre sollicitée en torsion

Une poutre se déforme lorsqu'elle est soumise à de la torsion. L'angle de rotation se calcule avec les relations :

θ = M_tG . I_Gx

α = θ . L

θ : Angle de torsion unitaire, en rad/mm.
α : Angle de rotation entre les extrémités de la poutre, en rad.
L : Longueur de la poutre, en mm.
M_t : Moment de torsion, en N.mm.
G : Module d'élasticité transversal, en MPa.
I_Gx : Moment quadratique par rapport à la ligne moyenne, en mm⁴.