RESISTANCE DES MATERIAUX
GENERALITES

Introduction

Toute pièce se déforme lorsqu'elle est soumise à des actions mécaniques. L'amplitude des déformations dépend des formes et du matériau constituant la pièce. Elle augmente avec l'intensité des actions exercées et peut conduire à la rupture. La résistance des matériaux (RDM) a pour objet :

La RDM propose différents outils :

Hypothèses de la RdM

Sur le solide déformable

Matériau constituant le solide

Dans une étude de RdM, le matériau est généralement considéré :

Forme du solide

La forme de solide usuelle est la poutre, c'est à dire un solide de forme allongée.

Pour être plus précis, une poutre est un solide engendré par le déplacement d'une surface plane S, dont le barycentre (ou centre de surface) G décrit une ligne Δ, perpendiculaire en tout point au plan contenant S. La ligne Δ est appelée ligne moyenne.

Les caractéristiques d'une poutre sont :

Sur les déformations

Hypothèse des petites déformations

La pièce se déformant peu, l'influence des déformations sur les positions des points d'application des charges est négligeable.

Par exemple, dans le cas de la poutre ci-dessous chargée et encastrée à ses extrémités, si la déformation est petite, le moment en A est proportionnel à la longueur AB de la poutre. Si la déformation est importante, il faut tenir compte de la nouvelle position de l'extrémité B pour le calcul du moment en A.

Hypothèse de Bernoulli

Il n'y a pas de gauchissement des sections droites : Toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation.

Sur les actions exercées

Types d'actions extérieures

Une poutre peut être soumise à trois sortes d'actions extérieures :

Hypothèse de Barré de Saint Venant

Dans les zones éloignées des points d'applications des charges, la répartition des contraintes dans une section droite est indépendante des modes d'application.

Efforts de cohésion dans une section droite

Contraintes en un point de la section droite

Section droite

Une section droite de poutre est une section plane perpendiculaire à la ligne moyenne de cette poutre. Elle sépare la poutre en deux parties, le tronçon de droite et le tronçon de gauche. Puisqu'elle coupe fictivement la poutre en deux parties, on la nomme section de coupure.

Vecteur contrainte

Dans une section droite, considérons une surface élémentaire (très petite) dS. Sur cette surface, le tronçon de droite exerce sur tronçon de gauche la force élémentaire dF.

Le vecteur contrainte C se définit avec la relation :

C = dF dS

Contraintes normale et tangentielle

Le vecteur contrainte C se décompose en une contrainte normale σ et une contrainte tangentielle τ .

C = σ + τ

De manière générale, toute surface élémentaire à l'intérieur d'une pièce peut être soumis à une contrainte normale et à une contrainte tangentielle.

Torseur des efforts de cohésion

Efforts de cohésion

Une section de coupure étant choisie, isolons un des deux tronçons, par exemple celui de gauche. Ce tronçon de gauche est soumis :

Le tronçon de gauche est en équilibre. D'après le PFS :

{ T coh. } + { T ext. } = { 0 }

Cette relation permet de déterminer le torseur des efforts de cohésion au barycentre G de la section de coupure.

{ T coh. } = G { R ; MG }

Efforts normal, tranchant, moments de flexion, de torsion

La résultante R se décompose en un effort normal N et un effort tranchant T.

R = N + T

De même, le moment MG se décompose en un moment de flexion ou moment fléchissant Mf et un moment de torsion Mt.

MG = Mf + Mt

En tout point de la section de coupure :

Diagrammes associés aux efforts de cohésion

Principe

En déplaçant la section de coupure tout le long de la poutre, on obtient les diverses valeurs des efforts normal et tranchant, des moments de flexion et de torsion. On peut alors tracer les diagrammes correspondants.

Exemple

Essai de traction

Description de l'essai

Cet essai est l'un des plus important en RDM. Il consiste à exercer sur une éprouvette une force de traction F croissante et progressive, jusqu'à rupture. Dans l'exemple ci-dessous, l'éprouvette est de section cylindrique.

F : Force de traction exercée sur l'éprouvette, en N.
Lo : Longueur entre deux repères réalisés sur l'éprouvette au repos, en mm.
L : Longueur entre les deux repères sur l'éprouvette chargée, en mm.
Lu : Longueur ultime entre les deux repères sur l'éprouvette rompue, en mm.
So : Section de l'éprouvette au repos, en mm2.
S : Section de l'éprouvette chargée, en mm2.
Su : Section ultime de l'éprouvette rompue, en mm2.

Remarque : Le plan de rupture est souvent incliné de 45° environ.

Courbes obtenues

Les courbes obtenues à partir de l'essai de traction comportent généralement deux zones.

Deux courbes de même forme sont tracées :

ΔL = L - Lo : Allongement, en mm.

ε = ΔL Lo : Déformation (sans unité).

σ = F So : Contrainte, en MPa.

Remarques :

Caractéristiques mécaniques déduites de l'essai

E = σ ε : Module d'élasticité longitudinal ou module d'Young, en MPa.

Re = Fe So : Contrainte limite élastique en traction, en MPa.

Rm = Fm So : Contrainte limite à la rupture en traction, en MPa.

A% = Lu - Lo Lo . 100 : Pourcentage de l'allongement après rupture (sans unité).

Remarques :

Moments quadratiques

Barycentre ou centre de surface

Les moments quadratiques d'une section droite sont recherchés par rapport à un axe passant par le barycentre G de la section. Il est donc nécessaire de connaître la position de ce point.

Une surface se décompose en n surfaces dont on connaît les barycentres Gi et les aires Si. Soit O un point quelconque. La position du barycentre G de la surface se calcule avec la relation :

OG = S1.OG1+ S2.OG2+...+ Sn.OGn S1+S2+...+Sn

S1+S2+...+Sn représente l'aire totale de la surface. Pour des raisons pratiques, le point O est généralement l'origine du repère dans lequel s'écrivent les coordonnées des points Gi.

Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe situé dans son plan

Pour une section droite d'aire S et de barycentre G :

IGz = y2 . dS

IGy = z2 . dS

Module de flexion

IGzv et IGyv sont les modules de flexion, v étant la distance maximale entre les axes (Gy) ou (Gz) et un point de la surface.

Formules de calcul

Section droite IGz IGy IGzv IGyv
π . d 464 π . d 464 π . d 332 π . d 332
b . h 312 h . b 312 b . h 26 h . b 26

Théorème de Huygens

IOy = IGy + S . d2

Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe perpendiculaire à son plan

Pour une section droite d'aire S et de barycentre G :

IGx = IGy + IGz

Module de torsion

IGxv est le module de torsion, v étant la distance maximale entre le barycentre G et un point de la surface.

Formules de calcul

Section droite IGx IGxv
π . d 432 π . d 316
π . (D 4 - d 4)32 π . (D 4 - d 4)16 . D