STATIQUE

Introduction

La statique est la partie de la mécanique où l'on étudie l'équilibre des solides et les actions mécaniques qui leur sont appliquées.

"Donnez-moi un point d'appui et je soulèverai le monde", disait Archimède. La statique permet, dans cet exemple, de connaître la force obtenue pour soulever la charge en fonction de celle exercée à l'extrémité du levier. Le calcul des actions mécaniques est utile pour choisir ou dimensionner de nombreux éléments, comme un moteur électrique, un roulement à billes ou la section d’une poutre.

Principe des actions mutuelles

Si un corps 1 exerce une action mécanique sur un corps 2, alors le corps 2 exerce une action mécanique sur le corps 1 directement opposée.

Le principe des actions mutuelles se nomme aussi principe des actions réciproques.

Dans l'exemple ci-dessous, deux solides 1 et 2 sont en contact ponctuel. La force exercée par le solide 1 sur le solide 2 est directement opposée à celle exercée par le solide 2 sur le solide 1. Les deux forces ont même support, même norme mais sont de sens opposés.

Remarque

Le principe des actions réciproques appliqué à deux forces qui s'opposent correspond à la troisième loi de Newton.

Isolement d'un système de solides

Notion de système isolé

Isoler un système consiste à séparer l'univers en deux parties :

Les parois du système isolé constituent la frontière d'isolement entre le système isolé et son environnement.

Le système isolé :

Action mécanique extérieure

Elle est exercée par un élément de l'environnement sur un élément du système isolé. Il ne faut pas la confondre avec une action mécanique intérieure, exercée par un élément du système isolé sur un autre élément du système isolé.

On distingue deux sortes d'action mécanique extérieure :

Equilibre du système isolé

Exemple

Soit une biellette, de centre de masse G, de poids négligeable, soumise à deux forces quelconques F1 et F2. Sous l'action des deux forces, la biellette se met en mouvement. Elle n'est pas en équilibre.

Maintenant, si les deux forces F1 et F2 sont directement opposées, la biellette est en équilibre.

Cas général

Un système isolé est en équilibre si, par rapport à un référentiel galiléen :

On peut considérer qu'un système en mouvement est en équilibre si :

Référentiel galiléen

Dans un référentiel galiléen, le principe d'inertie est vérifié : Le centre de masse d’un solide isolé ou pseudo-isolé est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.

Dans cette définition :

Remarques

Principe fondamental de la statique

Enoncé

Pour tout système isolé S en équilibre, on a :

∑ { T AME } = { T S→S } = {0}

∑ { T AME } est la somme des torseurs d'action mécanique, modélisant les actions mécaniques extérieures.

Traduction vectorielle

La relation ∑ { T AME } = {0} nécessite d’écrire tous les torseurs en un même point de réduction A. C'est le point de calcul.

Sous forme vectorielle, on obtient deux théorèmes.

Théorème de la résultante statique

R AME = R S→S = 0

R AME   est la somme des résultantes des torseurs d'action mécanique.

Théorème du moment statique

M A AME = M A S→S = 0

M A AME   est la somme des moments en A des torseurs d'action mécanique.

Cas d'un système soumis à des forces

Si le système isolé est soumis à des forces uniquement, on écrit :

F ext. = 0

MA F ext. = 0

Remarque

On peut choisir n'importe quel point de calcul. Souvent, le problème est plus facile à résoudre si on prend comme point de calcul le point de réduction du torseur avec le plus d'inconnues.

Traduction graphique dans le plan

Système soumis à deux forces

Si le système isolé, en équilibre, est soumis à deux forces, alors ces deux forces sont directement opposées.

Système soumis à trois forces non parallèles

Si le système isolé, en équilibre, est soumis à trois forces non parallèles, alors :

La construction graphique de cette somme vectorielle se nomme triangle des forces, dynamique fermé ou encore polygone dynamique.

* C'est la conséquence du théorème du moment statique.
** C'est la conséquence du théorème de la résultante statique.

Résolution d'un problème de statique

Hypothèses

Les liaisons

Elles sont géométriquement parfaites avec ou sans prise en compte du frottement. Lorsque le frottement est pris en compte, il est généralement modélisé avec la loi de Coulomb.

Les déformations

Les actions mécaniques engendrent sur les pièces des déformations, modifiant la géométrie du problème. Généralement, ces faibles déplacements influencent les résultats de manière insignifiante. On dit alors que les pièces sont considérées indéformables.

Le mécanisme ou la structure

Si les actions mécaniques sont constituées de forces situées dans un même plan, de couples perpendiculaires à ce plan, on dit que le problème est plan.

Lorsque la disposition des actions mécaniques présente un plan de symétrie, le problème peut être ramené dans ce plan.

Les actions négligeables

Certaines actions mécaniques, trop faibles pour influencer les résultats de manière significative, sont négligées. Par exemple, si le poids du système isolé est faible devant les autres actions mécaniques, alors il n'est pas pris en compte.

Méthodes de résolution

Notion d'isostatisme

Un système est isostatique s’il est possible de déterminer les efforts auxquels il est soumis, en appliquant seulement le PFS.

Il est hyperstatique si, pour déterminer les efforts auxquels il est soumis, il est nécessaire, en plus des équations obtenues par le PFS, d’écrire des équations liées aux déformations de ce système. Ces déformations sont étudiées en résistance des matériaux.

La poutre posée sur trois appuis est un exemple de problème hyperstatique.

Ordonnancement des isolements

Parfois, pour résoudre un problème de statique, il est nécessaire d’appliquer le PFS sur différents systèmes. Ces derniers sont isolés dans un ordre permettant la résolution progressive du problème.

Dans le cas d'une résolution analytique, soient Ni et Ne les nombres d’inconnues et d’équations indépendantes, obtenues en appliquant le PFS sur le système isolé.

Choix de la méthode de résolution : Analytique ou graphique

Avant l'arrivée des ordinateurs, les méthodes graphiques étaient très utilisées. La tour Eiffel, par exemple, a été dimensionnée graphiquement. Les nombreuses méthodes graphiques portent différents noms.

De nos jours, la résolution graphique garde un intérêt pédagogique. En somme, si le système isolé est soumis à deux forces ou à trois forces concourantes, les deux méthodes de résolution sont possibles. Dans les autres cas, la résolution analytique s’impose.

Méthode analytique de résolution

Elle se présente en six étapes :

  1. Système isolé.
  2. Bilan des actions mécaniques extérieures.
  3. Modélisation des actions mécaniques extérieures.
  4. Moments (ou torseurs) au point de calcul.
  5. Principe fondamental de la statique.
  6. Conclusion.

Parfois, on cherche à ne résoudre le problème que partiellement. On peut alors n'appliquer que l’un ou l’autre des théorèmes de la résultante ou du moment statique.

Méthode graphique de résolution

Elle se présente en cinq étapes :

  1. Système isolé.
  2. Bilan des actions mécaniques extérieures.
  3. Tableau récapitulatif.
    ForcePoint d'applicationDirectionsensNorme






  4. Principe fondamental de la statique.
  5. Conclusion.