MINI-PROJET : CALCUL DES MOMENTS QUADRATIQUES D'UNE SECTION DROITE

Introduction

En résistance des matériaux, les moments quadratiques s'utilisent :

• Pour calculer les contraintes au sein d'une poutre, afin de vérifier qu'elle résistera aux sollicitations auxquelles elle est soumise.
• Pour déterminer les déformations de la poutre, afin de vérifier qu'elles ne dépassent pas les valeurs limites admissibles.

Définitions

Poutre

Une poutre est un solide de forme allongée. Pour être plus précis, c'est un solide engendré par le déplacement d'une surface plane S, dont le barycentre (ou centre de surface) G décrit une ligne Δ, perpendiculaire en tout point au plan contenant S. La ligne Δ est appelée "ligne moyenne".

Section droite

Une section droite de poutre est une section plane perpendiculaire à la ligne moyenne de cette poutre.

Moments quadratiques

Ce sont des grandeurs caractéristiques de la géométrie d'une section droite. Elles se définissent par rapport à un axe.

Considérons une section droite de surface S et de barycentre G :

Les moments quadratiques se déterminent avec les relations ci-dessous.

• Par rapport à un axe situé dans son plan :
  • I_Gz = ∫ y² . dS
  • I_Gy = ∫ z² . dS
• Par rapport à un axe perpendiculaire à son plan :
  I_Gx = I_Gy + I_Gz
• Théorème de Huygens :
  I_Oy = I_Gy + S . d²
  

Formulaire pour quelques sections

La résolution des intégrales, ainsi que l'utilisation du théorème de Huygens, permettent d'obtenir les formules ci-dessous. Les sections choisies sont celles utilisées couramment en construction mécanique.

Type de section	Moments quadratiques
Tube rond
Tube rectangulaire
Cornière
Poutre en T
Poutre en H
Poutre en U

Travail demandé

Afin de faciliter le travail des ingénieurs mécaniciens, on souhaite développer une application web. Elle permettra de calculer aisément les moments quadratiques des six sections de poutre présentées dans le formulaire ci-dessus.

Ci-dessous, on propose des vues en perspective de ces poutres. Elles ont été obtenues à l'aide d'un modeleur volumique.

L'utilisateur de l'application Web :

• Sélectionnera une des six sections proposées.
• Entrera ensuite les dimensions de la section choisie.
• Validera pour obtenir les valeurs des moments quadratiques I_Gx, I_Gy et I_Gz.

Conditions de travail :

• Plusieurs équipes travailleront sur ce même projet. Seule la meilleure réalisation sera retenue.
• Les équipes seront constituées de trois personnes, éventuellement de deux personnes.
• Le temps alloué pour la réalisation de cette application est de neuf heures.

Critères d'évaluation :

• L'application web devra, en priorité, fournir des résultats justes.
• Elle sera enrichie d'images, d'explications, d'une rubrique d'aide.
• Elle devra être élégante, ergonomique, facile d'utilisation.
• Le code devra être facile à relire, correctement indenté.
• Attention aux fautes d'orthographe!