MOTEUR A VAPEUR POUR MODELE REDUIT

Mouvement du piston

Mise en situation

Le but est d'étudier le mouvement du piston par rapport au cylindre, dans plusieurs configurations. Un mouvement se caractérise par la position, la vitesse et l'accélération. Le tracé de plusieurs courbes permettra de comparer diverses solutions.

Hypothèses et données

• On propose, ci-dessous, un schéma cinématique en vue de dessus du moteur. L'axe 8 se situe en O, l'axe 3 en A et l'axe 9 en B.
• La vitesse angulaire du volant d'inertie 10 reste constante : N = 5 tr/s
• On pose :
  • l = OA
  • m = OB
• Dans le repère (O; x, y ) :
  • A ( l ; 0 )
  • B ( m.cos α ; m.sin α )
  • AB = (l - m.cos α)² + (m.sin α)²
• La position du piston par rapport au cylindre est liée à la distance AB. On note x cette position et on pose :
  • x = 0   pour α = 0°
  • x = 2.m   pour α = 180°
  • x = AB-l+m   pour une valeur quelconque de α
• Plusieurs possibilités sont envisagées pour la distance OA. Par contre, la distance OB reste constante :
  • l = OA = variable
  • m = OB = 10 mm
• Pour les graphiques, on propose d'adapter le programme en Python ci-dessous. Il utilise :
  • Le module pyplot de la bibliothèque Matplotlib, pour obtenir des graphiques.
  • La bibliothèque NumPy, spécialisée dans le calcul matriciel.

  import matplotlib.pyplot as plt
  import numpy as np
  
  x = np.linspace(0,2*np.pi,200)
  y1 = np.sin(x)+1
  y2 = x**0.5
  
  plt.figure("Exemples de courbes")
  plt.xlabel("L'axe horizontal")
  plt.ylabel("L'axe vertical")
  plt.grid(True)
  
  plt.plot(x, y1, color='#00ff00')
  plt.plot(x, y2, color='#ff0000')
  plt.show()
  

  Courbes obtenues avec cet exemple :

Etude demandée

En fonction de l'angle α

Sur un même graphique, tracer de trois couleurs différentes les courbes donnant la position x du piston en mm en fonction de l'angle α en ° :

• Pour un tour complet de l'axe de sortie du moteur.
• Et pour trois valeurs de l : 70, 21 et 12 mm.

En fonction du temps

Sur trois graphiques différents, tracer les courbes donnant, en fonction du temps :

• Les positions du piston.
• Les vitesses du piston.
• Les accélérations du piston.

On conseille de créer trois fonctions notées x() v() et a() :

• Prenant en paramètres l'instant t en s, les dimensions l et m en mm.
• Retournant respectivement la position en mm, la vitesse en mm/s et l'accélération en mm/s² du piston.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def x(t,l,m):
  ...
  
def v(t,l,m):
  ...

def a(t,l,m):
  ...


...