PYTHON
METHODES NUMERIQUES
EXEMPLE PRATIQUE - 1ERE PARTIE

Mise en situation

Une photorésistance se place habituellement en série avec une résistance de 10 kΩ, de sorte que la lumière reçue par la photorésistance s'évalue en mesurant la tension aux bornes d'un des deux composants.

Pourquoi 10 kΩ? Quelle valeur de la résistance maximise la plage de tension mesurée? Le but de l'étude consiste à répondre à cette question.

Comparatif des solutions analytiques et numériques

En général, dans la résolution d'un problème :

• Une méthode numérique est toujours possible à mettre en œuvre. Elle fournit des résultats approximatifs en effectuant de nombreux calculs.
• Une méthode analytique est, selon le cas, facile, difficile ou impossible à mettre en œuvre. Quand elle est possible, elle fournit des résultats précis et rapides.

Hypothèses et données

Notations

• U : Tension d'alimentation, en V
• I : Courant dans le circuit, en A
• R_P : Valeur de la photorésistance, en Ω
• R : Valeur de la résistance, en Ω
• U_R : Tension aux bornes de la résistance, en V
• R_P max, R_P min : Valeurs de la photorésistance peu à fortement éclairée, en Ω
• ΔU = U_R max - U_R min : Plage de tension aux bornes de la résistance, en V

Schéma électronique

Valeurs retenues

• U = 5 V
• R_P min = 200 Ω
• R_P max = 40 kΩ

Etude demandée

• Rechercher la formule littérale permettant de calculer ΔU en fonction de R.
• Tracer la courbe de la plage de tension ΔU en fonction de R, compte tenu des valeurs indiquées dans les hypothèses et données. Faire varier R de 500 Ω à 20 kΩ
• Rechercher la valeur de R optimale :
  • Par une méthode numérique.
  • Par une résolution analytique.
• Conclure.

Compte rendu

Formule littérale de ΔU en fonction de R

I = [div]U[sur]R_P + R[/div] = [div]U_R[sur]R[/div]    (loi d'Ohm)

I min = [div]U[sur]R_P max + R[/div] = [div]U_R min[sur]R[/div]

I max = [div]U[sur]R_P min + R[/div] = [div]U_R max[sur]R[/div]

U_R max - U_R min = ΔU = [div]R . U [sur]R_P min+R[/div] - [div]R . U [sur]R_P max+R[/div] = R . U [par] [div]1[sur]R_P min+R[/div] - [div]1[sur]R_P max+R[/div][/par]

Tracé de la courbe de ΔU en fonction de R

Programme en python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

U = 5        # Tension d'alimentation, en V
RpM = 40000  # Résistance maximale de la photorésistance, en Ω
Rpm = 200    # Résistance minimale de la photorésistance, en Ω

# Résistance placée en série avec la photorésistance, en Ω
R = np.linspace(500,20000,500)

# Plage de tension mesurée aux bornes de la résistance selon l'éclairage, en V
delta_U = R*U*(1/(Rpm+R)-1/(RpM+R))

# Tracé de la courbe
plt.figure("Résistance associée à une photorésistance")
plt.xlabel("Valeur de la résistance placée en série (Ω)")
plt.ylabel("Plage de tension mesurée (V)")
plt.grid()
plt.plot(R, delta_U)
plt.show()

Courbe obtenue

Recherche de la valeur de R optimale

Méthode numérique

Programme en python (nommé etude.py) :

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

U = 5        # Tension d'alimentation, en V
RpM = 40000  # Résistance maximale de la photorésistance, en Ω
Rpm = 200    # Résistance minimale de la photorésistance, en Ω

# Résistance placée en série avec la photorésistance, en Ω
R = np.linspace(500,20000,500)

# Différence de tension mesurée aux bornes de la résistance selon l'éclairage, en V
delta_U = R*U*(1/(Rpm+R)-1/(RpM+R))

# Recherche de la résistance optimale
liste_R = list(R)
liste_delta_U = list(delta_U)
R_rech = liste_R[liste_delta_U.index(max(liste_delta_U))]
print("Résistance pour la plage de tension maximale =",round(R_rech)," Ω")

Résultat :

$ ./etude.py
Résistance pour la plage de tension maximale = 2845 Ω

Solution analytique

On recherche la valeur de R pour laquelle la dérivée de ΔU par rapport à R s'annule.

ΔU = [div]R . U [sur]R_P min+R[/div] - [div]R . U [sur]R_P max+R[/div]    ⇒

[div]dΔU[sur]dR[/div] = [div]U.(R_P min+R) - R.U[sur](R_P min+R)²[/div] - [div]U.(R_P max+R) - R.U[sur](R_P max+R)²[/div] = [div]U.R_P min[sur](R_P min+R)²[/div] - [div]U.R_P max[sur](R_P max+R)²[/div]

[div]dΔU[sur]dR[/div] = 0    ⇒    [div]R_P min[sur](R_P min+R)²[/div] = [div]R_P max[sur](R_P max+R)²[/div]    ⇒

R_P min . R_P max² + R_P min . R² + 2 . R_P min . R_P max . R = R_P max . R_P min² + R_P max . R² + 2 . R_P max . R_P min . R    ⇒

R_P min . R_P max² - R_P max . R_P min² = R_P max . R² - R_P min . R²    ⇒

R_P min . R_P max .(R_P max - R_P min) = R².(R_P max - R_P min)    ⇒

R = [rac]R_P min . R_P max[/rac] = [rac]200 × 40000[/rac] = 2828 Ω

Conclusion

La plage de tension varie fortement avant la résistance optimale et faiblement après. On a intérêt à choisir une valeur quelque peu supérieure à 2900 Ω, par exemple 4000 Ω.